[论文解读] Generalized macroscopic Schrodinger equation in scale relativity

Marie-Noëlle Célérier, Laurent Nottale|ArXiv.org|May 2, 2005

Marine and environmental studies被引用 7

一句话总结

本文通过将具有分形维数2的不可微分、分形时空轨迹建模，从尺度相对论理论推导出广义宏观薛定谔方程。通过引入因时间反演对称性破缺而产生的复速度场，并应用协变导数形式体系，得到一个类似于薛定谔方程的方程；当引入外部引力势能时，该方程退化为牛顿-薛定谔系统，从而实现了对星体系统中宏观类量子行为的几何描述。

ABSTRACT

The scale transformation laws produce, on the motion equations of gravitating bodies and under some peculiar assumptions, effects which are anologous to those of a "macroscopic quantum mechanics". When we consider time and space scales such that the description of the trajectories of these bodies (planetesimals in the case of planetary system formation, interstellar gas and dust in the case of star formation, etc...) is in the shape of non-differentiable curves, we obtain fractal curves of fractal dimension 2. Continuity and non-differentiability yield a fractal space and a symmetry breaking of the differential time element which gives a doubling of the velocity fields. The application of a geodesics principle leads to motion equations of Schrodinger-type. When we add an outside gravitational field, we obtain a Schrodinger-Poisson system. We give here the derivation of the Schrodinger equation for chaotic systems, i.e., with time scales much longer than their Lyapounov chaos-time.

研究动机与目标

• 从尺度相对论原理出发，推导出具有分形、不可微轨迹的系统的宏观薛定谔方程。
• 解释时空的不可微性与分形几何如何导致速度场的加倍及复动力学的产生。
• 通过复数构建协变导数形式体系，以在分形涨落存在下保持标准莱布尼茨法则。
• 证明当引入外部引力势能时，所得方程可退化为牛顿-薛定谔系统。
• 提供一个几何的、与尺度相关的框架，用于理解如行星和恒星形成等天体系统中自组织结构的出现。

提出的方法

• 将时空建模为分形流形，其分形维数为2，从而导致不可微分、无限测地线轨迹。
• 引入尺度依赖的速度场 V[x(t,dt), t, dt]，将其分解为经典部分与发散涨落部分 w，其统计性质满足 <w_i> = 0 且 <w_i w_j> = δ_ij (2𝒟/dt)。
• 定义两个时间反演速度场 V_+ 和 V_-，从而引入复速度算符 d̸/dt = ∂/∂t + V̂·∇，其中 V̂ = V - i𝒟∇。
• 通过对称乘积或修改后的复速度构造协变导数，以恢复乘积的原始一阶莱布尼茨法则。
• 应用拉格朗日形式体系推导尺度相对论的欧拉-拉格朗日方程，得到测地线方程与含势能 Φ 的牛顿型方程。
• 引入复波函数 ψ = e^{i𝒮/𝒮₀} 并代入方程，其中 𝒮₀ = 2m𝒟，从而导出广义薛定谔方程 𝒟²Δψ + i𝒟 ∂ψ/∂t = (Φ/2m)ψ。

实验结果

研究问题

• RQ1 不可微分、分形的时空轨迹如何在宏观系统中引发类量子行为？
• RQ2 在时间反演对称性破缺的不可微分、分形时空框架下，协变导数的数学结构是什么？
• RQ3 通过尺度相对论引入复速度场后，如何为宏观系统导出类薛定谔方程？
• RQ4 当在尺度相对论框架中引入外部引力势能时，薛定谔方程的形式如何？
• RQ5 所得方程如何描述如行星和恒星形成等天体物理背景下自组织结构的形成？

主要发现

• 推导出的广义薛定谔方程为 𝒟²Δψ + i𝒟 ∂ψ/∂t = (Φ/2m)ψ，当存在外部势能 Φ 时，该方程退化为牛顿-薛定谔系统。
• 分形维数 D_F = 2 导致发散涨落场，其方差与 2𝒟/dt 成正比，从而确保速度涨落的随机性。
• 复速度算符 d̸/dt 在使用修正速度 V̂ = V - i𝒟∇ 时，可保持乘积的标准一阶莱布尼茨法则。
• 波函数 ψ = e^{i𝒮/𝒮₀} 且 𝒮₀ = 2m𝒟 确保了在宏观极限下薛定谔方程的正确归一化与物理量纲。
• 所得方程自然描述了概率密度对系统的结构化作用，从而解释了行星与恒星形成过程中的自组织现象。
• 该理论提供了一个几何的、与尺度相关的框架，其中宏观系统由于分形时空几何与不可微性而表现出类量子行为。