[论文解读] Generalized Maiorana-McFarland Constructions for Almost Optimal Resilient Functions

Weiguo Zhang, Xiao Guo-zhen|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文提出了一种广义Maiorana-McFarland（GMM）构造方法，用于生成几乎最优的、非线性度高的抗脆布尔函数，特别适用于变量数为偶数和奇数的情况。通过使用不相交的线性码和单射映射扩展经典M-M构造，作者在偶数 $n$ 时实现了非线性度 $2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{k-1}$（其中 $k < n/2$），并在奇数 $n$ 时利用Patterson-Wiedemann或Kavut-Y"ucel函数获得更高的非线性度。该方法还支持多输出抗脆函数，其非线性度超过 $2^{n-1} - 2^{n/2}$，并确保满足严格雪崩准则（SAC）和代数次数优化。

ABSTRACT

In a recent paper \cite{Zhang-Xiao}, Zhang and Xiao describe a technique on constructing almost optimal resilient functions on even number of variables. In this paper, we will present an extensive study of the constructions of almost optimal resilient functions by using the generalized Maiorana-McFarland (GMM) construction technique. It is shown that for any given $m$, it is possible to construct infinitely many $n$-variable ($n$ even), $m$-resilient Boolean functions with nonlinearity equal to $2^{n-1}-2^{n/2-1}-2^{k-1}$ where $k2^{n-2}-2^{(n-1)/2}$ ($n$ odd) by using Patterson-Wiedemann functions or Kavut-Y$\ddot{u}$cel functions. Finally, we provide a GMM construction technique for multiple-output almost optimal $m$-resilient functions $F: \mathbb{F}_2^n\mapsto \mathbb{F}_2^r$ ($n$ even) with nonlinearity $&gt;2^{n-1}-2^{n/2}$. Using the methods proposed in this paper, a large class of previously unknown cryptographic resilient functions are obtained.

研究动机与目标

• 开发一种广义构造技术，用于生成几乎最优抗脆布尔函数，其非线性度超越现有方法。
• 通过引入不相交线性码和单射映射，扩展经典Maiorana-McFarland类，以提高非线性度和抗脆性。
• 构造满足严格雪崩准则（SAC）的抗脆函数，同时保持高非线性度和最优代数次数。
• 提供一个框架，用于生成多输出抗脆函数 $F: \mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2^r$，其非线性度在偶数 $n$ 时超过 $2^{n-1} - 2^{n/2}$。
• 探讨抗脆函数非线性度的理论上限，并提出关于这些界限紧致性的猜想。

提出的方法

• 提出一种广义Maiorana-McFarland（GMM）构造方法，使用不相交的线性码 $\{C_1, \dots, C_u\}$ 和 $\{C'_1, \dots, C'_v\}$，其维度为 $r$，最小重量至少为 $m+1$，并使 $u$ 和 $v$ 最大化。
• 定义从 $\mathbb{F}_2^{n/2}$ 的子集 $E_0$ 和 $E_1$ 到码空间 $T_0$ 和 $T_1$ 的单射映射 $\psi_i$ 和 $\phi_i$，其矩阵表示由基映射导出。
• 构造函数 $F: \mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2^r$，定义为：若 $X'_{n/2} \in E_0$，则 $f_i(X_n) = \psi_i(X'_{n/2}) \cdot X''_{n/2}$；若 $X'_{n-k} \in E_1$，则 $f_i(X_n) = \phi_i(X'_{n-k}) \cdot X''_k$，其中 $k$ 由基数条件确定。
• 通过分析分量函数的沃尔什变换，对最大绝对沃尔什系数进行上界估计，从而导出非线性度表达式 $N_f = 2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{k-1}$。
• 对于奇数 $n$，通过利用Patterson-Wiedemann或Kavut-Y"ucel函数，实现非线性度 $> 2^{n-2} - 2^{(n-1)/2}$。
• 通过精心设计映射和码结构，确保自相关函数对所有汉明重量为1的 $\alpha$ 均为零，从而保证SAC。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Maiorana-McFarland构造能否生成无穷多个 $n$ 变量、$m$-抗脆布尔函数，其非线性度为 $2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{k-1}$（$n$ 为偶数，$k < n/2$）？
• RQ2 GMM构造能否被修改，以确保生成的抗脆函数满足严格雪崩准则（SAC）？
• RQ3 对于奇数 $n$，能否利用已知的高非线性函数（如Patterson-Wiedemann或Kavut-Y"ucel）实现非线性度超过 $2^{n-2} - 2^{(n-1)/2}$？
• RQ4 GMM框架能否扩展至多输出抗脆函数 $F: \mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2^r$，使其在偶数 $n$ 时非线性度 $> 2^{n-1} - 2^{n/2}$？
• RQ5 对于 $m$-抗脆函数，其非线性度的理论上限是什么？这些界限的紧致性如何？

主要发现

• GMM构造可生成无穷多个 $n$ 变量、$m$-抗脆布尔函数，其非线性度为 $2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{k-1}$（$n$ 为偶数，$k < n/2$），达到几乎最优非线性度。
• 该方法通过精心设计单射映射和码结构，确保所构造函数满足严格雪崩准则（SAC）。
• 对于奇数 $n \geq 12$，利用Patterson-Wiedemann或Kavut-Y"ucel函数，可构造出非线性度 $> 2^{n-2} - 2^{(n-1)/2}$ 的抗脆函数，超越了奇数 $n$ 的已知界限。
• 该构造方法被扩展至多输出函数 $F: \mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2^r$（$n$ 为偶数），实现非线性度 $> 2^{n-1} - 2^{n/2}$，其非线性度为 $NF = 2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{k-1}$。
• 所构造函数的代数次数可被优化，该方法支持代数次数优化的抗脆函数。
• 本文提出了关于 $m$-抗脆函数非线性度界限紧致性的三个猜想，建议当 $m < \lceil n/4 \rceil$ 时 $N_f \leq 2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{\lfloor n/4 \rfloor + m - 1}$，当 $\lceil n/4 \rceil \leq m \leq n/2 - 2$ 时 $N_f < 2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{m+1}$，并对多输出函数的 $m + r \leq n/2 - 1$ 给出约束。