[论文解读] Generalized Mariño-Vafa Formula and Local Gromov-Witten Theory of Orbi-curves

Zhengyu Zong|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 10

一句话总结

本文为有限阿贝尔群 $G$ 的分类堆栈 $× G$ 上稳定映射模空间上的霍奇积分建立了一个广义的 Mariño-Vafa 公式，给出了具有有效腿的单腿轨道 Gromov-Witten 顶点的公式。证明了该情形下的 Gromov-Witten/Donaldson-Thomas 对应关系，并应用该公式计算了卡拉比-丘三叉轨道中的轨道曲线的局部 Gromov-Witten 不变量，将顶点形式化推广至轨道情形。

ABSTRACT

We prove a generalized Mariño-Vafa formula for Hodge integrals over $\Mbar_{g, γ-μ}(\cB G)$ with $G$ an arbitrary finite abelian group. Then we use this formula to study the local Gromov-Witten theory of an orbi-curve with cyclic stack points in a Calabi-Yau three-orbifold.

研究动机与目标

• 将 Mariño-Vafa 公式推广至有限阿贝尔群 $G$ 的 $× G$ 上稳定映射模空间的霍奇积分，将单腿顶点形式化推广至轨道情形。
• 为轨道单腿顶点建立 Gromov-Witten/Donaldson-Thomas 对应关系，证明在变量替换下，轨道 GW 顶点生成函数与 [4] 中的轨道 DT 顶点公式一致。
• 利用推广的公式计算卡拉比-丘三叉轨道中具有循环堆栈点的轨道曲线的局部 Gromov-Witten 不变量。
• 将局部 Gromov-Witten 理论的顶点形式化推广至具有循环轨道点的轨道卡拉比-丘三叉流形。
• 通过粘合法则与轨道霍奇积分计算，为轨道曲线的相对局部不变量提供生成函数。

提出的方法

• 通过 $G$ 的不可约表示相关的下拉类与霍奇丛，推导出有限阿贝尔群 $G$ 的 $× G$ 上模空间 $× \overline{\mathcal{M}}_{g,\gamma-\mu}(\mathcal{B}G)$ 上霍奇积分的广义 Mariño-Vafa 公式。
• 定义生成函数 $G_{\mu,\gamma}(\lambda;\tau)_a$ 与 $G^\bullet(\lambda;\tau;p;x)_a$，以编码具有有效腿与分支数据的轨道 Gromov-Witten 不变量。
• 通过证明轨道 GW 顶点生成函数在变量替换下与 [4] 中的轨道 DT 顶点公式一致，从而证明 GW/DT 对应关系。
• 利用轨道 Riemann-Roch 公式计算霍奇丛 $E^R$ 的秩，并定义特征类 $\Lambda^{\vee,R}_g(u)$。
• 应用相对不变量的粘合法则，根据亏格与轨道数据 $× \overrightarrow{\alpha}, \overrightarrow{a}$ 分解模空间，将计算简化至亏格 0 情形。
• 通过将 $Z_d(0)(\lambda;x)_{(\mu),(a)}$ 与生成函数 $K^\bullet_\mu(\lambda;x)$ 关联，利用定理 2.1 的变量替换，计算其值，后者以对称函数表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个广义的 Mariño-Vafa 公式，适用于有限阿贝尔群 $G$ 的 $× G$ 的轨道 Gromov-Witten 不变量，将经典公式推广至轨道情形？
• RQ2 Gromov-Witten/Donaldson-Thomas 对应关系是否对单腿轨道顶点成立，特别是对具有有效腿的 $× \mathbb{Z}_a$-轨道？
• RQ3 能否利用该广义公式计算卡拉比-丘三叉轨道中具有循环堆栈点的轨道曲线的局部 Gromov-Witten 理论？
• RQ4 轨道结构如何影响局部 Gromov-Witten 理论中相对不变量的粘合法则与生成函数？
• RQ5 亏格 0 情形下局部不变量的生成函数的精确形式是什么？它与对称函数及 Schur 函数有何关系？

主要发现

• 为有限阿贝尔群 $G$ 的 $× \overline{\mathcal{M}}_{g,\gamma-\mu}(\mathcal{B}G)$ 上的霍奇积分建立了广义 Mariño-Vafa 公式，提供了具有有效腿的单腿轨道 Gromov-Witten 顶点的生成函数。
• 证明了轨道单腿顶点的 GW/DT 对应关系：在变量替换下，轨道 GW 顶点生成函数与 [4] 中的轨道 DT 顶点公式一致。
• 通过公式 $\lambda^{-\frac{d}{a}}Z_d(0)(\lambda;\lambda^{\frac{1}{a}-1}x_1,\ldots,\lambda^{\frac{a-1}{a}-1}x_{a-1})_{(\mu),(a)} = \sqrt{-1}^{d-l(\mu)}(q^{\frac{1}{2}}q_1^{-\frac{1}{a}}\cdots q_{a-1}^{-\frac{a-1}{a}})^{|μ|}\sum_{|ν|=|μ|}s_{\nu'}(-q_\bullet)\frac{\chi_\nu(\mu)}{z_\mu}$ 计算了卡拉比-丘三叉轨道中轨道曲线的局部 Gromov-Witten 不变量。
• 生成函数 $K^\bullet_\mu(\lambda;x)$ 以对称函数与变量替换表示，将轨道不变量与对称函数理论联系起来。
• 相对不变量的粘合法则被推广至轨道情形，其中分支数据 $× \overrightarrow{\alpha}$ 与轨道结构 $× \overrightarrow{a}$ 均被分解，保持了顶点形式化的结构。
• 该公式完整计算了具有 $× \mathbb{Z}_a$-堆栈点的轨道曲线的亏格 0 局部不变量，将问题简化为对称函数恒等式与特征理论。