[论文解读] Generalized Nash Equilibrium Problem by the Alternating Direction Method of Multipliers

Farzad Salehisadaghiani, Lacra Pavel|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文提出了一种不精确的增广拉格朗日乘子法（ADMM）算法，用于在具有耦合线性约束的网络化博弈中分布式计算广义纳什均衡（GNE）。每位参与者仅了解自身的代价函数和私有约束，通过通信图交换对他人行动的估计值以及本地拉格朗日乘子；在代价函数满足弱假设条件下，证明了算法收敛至GNE，并通过在无线自组织网络中的仿真验证了该方法的有效性。

ABSTRACT

In this paper, the problem of finding a generalized Nash equilibrium (GNE) of a networked game is studied. Players are only able to choose their decisions from a feasible action set. The feasible set is considered to be a private linear equality constraint that is coupled through decisions of the other players. We consider that each player has his own private constraint and it has not to be shared with the other players. This general case also embodies the one with shared constraints between players and it can be also simply extended to the case with inequality constraints. Since the players don't have access to other players' actions, they need to exchange estimates of others' actions and a local copy of the Lagrangian multiplier with their neighbors over a connected communication graph. We develop a relatively fast algorithm by reformulating the conservative GNE problem within the framework of inexact-ADMM. The convergence of the algorithm is guaranteed under a few mild assumptions on cost functions. Finally, the algorithm is simulated for a wireless ad-hoc network.

研究动机与目标

• 开发一种分布式算法，用于在参与者具有私有线性耦合约束的网络化博弈中计算广义纳什均衡（GNE）。
• 使参与者仅通过本地信息——自身代价函数、私有约束和行动集——即可计算GNE，而无需直接了解他人行动。
• 设计一种可扩展且鲁棒的优化方法，利用通信图交换行动估计值和本地拉格朗日乘子。
• 在参与者代价函数满足弱假设条件下，为所提算法建立收敛性保证。
• 通过在具有数据流和容量约束的无线自组织网络（WANET）中的仿真，验证算法性能。

提出的方法

• 将保守型GNE问题转化为其拉格朗日对偶形式，并引入参与者行动的局部估计值以及拉格朗日乘子的本地副本，以支持分布式计算。
• 为每位参与者引入增广拉格朗日函数，将全局优化问题分解为局部子问题。
• 提出一种不精确-ADMM算法，允许子问题采用不精确解，从而在保持收敛性的同时提升计算效率。
• 将通信网络建模为连通图，每位参与者与邻居交换行动估计值和本地对偶变量。
• 推导GNE的KKT条件，并通过类似李雅普诺夫的分析方法，建立算法迭代过程的收敛性。
• 引入辅助变量（如 u, w, v, z）以处理ADMM更新步骤中的耦合约束和对偶变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种分布式算法，用于在参与者具有私有线性耦合约束且信息有限的网络化博弈中计算广义纳什均衡？
• RQ2 参与者如何仅通过本地代价函数、私有约束以及与邻居通信的行动估计值和对偶变量，实现GNE计算？
• RQ3 在代价函数满足弱假设条件下，基于不精确-ADMM的GNE搜索算法可建立何种收敛性保证？
• RQ4 所提算法在具有共享容量约束的真实网络系统（如无线自组织网络）中的表现如何？
• RQ5 该算法能否同时处理等式与不等式约束？其从共享约束到私有约束的推广能力如何？

主要发现

• 所提不精确-ADMM算法在满足弱假设（包括代价函数强凸性和Lipschitz连续性）条件下收敛至广义纳什均衡。
• 参与者行动序列、对偶乘子序列及辅助变量序列均收敛至其最优值，且相邻迭代之间的差值趋于零。
• 在包含15名用户的16个节点无线自组织网络中的仿真结果表明，流量速率收敛至GNE，图中以黑色星号标记。
• 对偶拉格朗日乘子收敛至零，表明在均衡状态下耦合约束得到满足。
• 算法的归一化误差随时间减小，表明其在实际应用中具有鲁棒性和收敛性。
• 该算法在去中心化环境中具有可扩展性和有效性，仅需本地通信，无需全局协调。