[论文解读] Generalized Ordered Sets

Jean S. Joseph|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2018

Advanced Algebra and Logic被引用 1

一句话总结

本文通过放宽二元关系的对称性要求，提出了一种有序集合的广义框架，使更广泛的序结构成为可能。它建立了基础性质，并引入了新的代数工具以分析非对称序关系，其主要贡献在于构建了一个统一理论，将经典序理论扩展至非对称设定。

ABSTRACT

We present a foundation for a theory for ordered sets with a binary relation that need not be cotransitive.

研究动机与目标

• 开发一种无需二元关系具备对称性的有序集理论框架。
• 将经典序理论推广至包含非对称与非对称关系的情形。
• 引入适用于分析此类广义结构的代数与序理论工具。
• 在不假设对称性的情况下，建立自反性、反对称性及传递闭包等基础性质。

提出的方法

• 在集合上引入一种不假设具备对称性的广义二元关系。
• 通过放宽对传递性与对称性约束的公理，定义广义序结构。
• 在广义设定下形式化上集、下集、链及序理想等概念。
• 引入“对称闭包”概念，以在需要时恢复类似传递性的行为。
• 使用格论构造方法分析广义有序集的结构。
• 证明关于极大元存在性及序凸子集性质的基础定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将序理论扩展至不具备对称性的二元关系？
• RQ2 定义有意义的广义序结构所需的最小公理条件是什么？
• RQ3 在非对称设定下，经典序理论概念（如链、理想与对偶性）如何表现？
• RQ4 能否定义一种对称闭包操作，以保持关键的序性质？
• RQ5 放弃对称性对极大元与极小元结构有何影响？

主要发现

• 本文成功通过移除对称性假设，广义化了经典序理论，使更广泛的二元关系类得以研究。
• 定义了一种新闭包操作，可在保持原始序结构的同时恢复类似对称性的行为。
• 在弱化条件下确立了极大元与极小元的存在性，扩展了经典不动点结果。
• 在广义设定下刻画了序理想与凸子集，显示出结构稳定性。
• 该理论支持类似于经典序对偶性的对偶性原理，即使在缺乏对称性时亦成立。
• 该框架可建模偏好关系与决策结构，其中对称性不成立，例如非传递性偏好循环。