[论文解读] Generalized PDE estimates for KPZ equations through Hamilton-Jacobi-Bellman formalism

Jérémie Unterberger|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过哈密顿-雅可比-贝尔曼形式化方法，为具有多项式增长沉积速率的KPZ方程建立了广义PDE估计。通过将解表示为最小化问题，推导出加权${\cal W}$-空间中的局部与点态估计，即使Cole-Hopf变换失效，也能确保全局存在性与唯一性。

ABSTRACT

We study in this series of articles the Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation $$ \partial_t h(t,x)=νΔh(t,x)+λV(| abla h(t,x)|) +\sqrt{D}\, η(t,x), \qquad x\in{\mathbb{R}}^d $$ in $d\ge 1$ dimensions. The forcing term $η$ in the right-hand side is a regularized white noise. The deposition rate $V$ is assumed to be isotropic and convex. Assuming $V(0)\ge 0$, one finds $V(| abla h|)\ltimes | abla h|^2$ for small gradients, yielding the equation which is most commonly used in the literature. The present article, a continuation of [24], is dedicated to a generalization of the PDE estimates obtained in the previous article to the case of a deposition rate $V$ with polynomial growth of arbitrary order at infinity, for which in general the Cole-Hopf transformation does not allow any more a comparison to the heat equation. The main tool here instead is the representation of $h$ as the solution of some minimization problem through the Hamilton-Jacobi-Bellman formalism. This sole representation turns out to be powerful enough to produce local or pointwise estimates in ${\cal W}$-spaces of functions with "locally bounded averages", as in [24], implying in particular global existence and uniqueness of solutions.

研究动机与目标

• 将KPZ方程的PDE估计从二次情形扩展至Cole-Hopf变换不再适用的情形。
• 解决沉积速率$V$在无穷远处呈现多项式增长的问题，该问题使得与热方程的标准比较方法失效。
• 为在无界设定下分析解，特别是针对随机且空间平移不变的外力，建立一个稳健的分析框架。
• 在加权函数空间${\cal W}_{j}^{1,\infty;\lambda}$中建立解的存在性与唯一性，该空间具有局部有界平均值。
• 将先前工作的泛函分析框架推广，以容纳高阶导数与非二次非线性项。

提出的方法

• 将KPZ方程表述为带有凸、各向同性沉积速率$V$与线性阻尼$-\varepsilon h$的粘性哈密顿-雅可比方程。
• 应用哈密顿-雅可比-贝尔曼形式化方法，将解$h$表示为随机控制问题的值函数，从而实现路径上的最小化。
• 定义加权局部准范数$|||\cdot|||_{{\cal W}_{j}^{1,\infty;\lambda}}(x)$，以捕捉空间中局部正则性与增长行为。
• 利用球坐标系下的分部积分与随机矩估计，控制随机变量$X$的$u(X)$期望，借助尾部概率的衰减特性。
• 通过控制至多$d+1$阶导数的增长，利用Schauder型估计，推导出时变${\cal W}$-空间中的先验估计。
• 引入改进的函数空间${\widetilde{\cal W}}_{j,\text{point}}^{d+1,\infty;P_{\pm}}$，以处理高阶导数，并在指数与多项式情形下提升正则性控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 当沉积速率$V$呈现任意阶多项式增长时，能否为KPZ方程建立广义PDE估计？
• RQ2 当非二次非线性导致Cole-Hopf变换失效时，如何确保解的全局存在性与唯一性？
• RQ3 在缺乏凸性或有界性假设的条件下，哈密顿-雅可比-贝尔曼形式化方法在多大程度上可替代经典比较原理？
• RQ4 在无界随机外力作用下，何种函数空间适合捕捉解的局部正则性与增长特性？
• RQ5 能否仅通过$h$、$\nabla h$以及初始数据与外力的导数的局部上确界，推导出$|\nabla^\kappa h|$的点态估计？

主要发现

• KPZ方程的解$h$被表示为随机控制问题的值函数，从而可通过哈密顿-雅可比-贝尔曼形式化方法推导出局部估计。
• 对于$V$的多项式增长，该方法在温和的正则性与增长条件下，确保了解在空间${\cal W}_{j}^{1,\infty;\lambda}([0,T])$中的全局存在性与唯一性。
• 在加权${\cal W}$-空间中建立了先验估计：$|||h_t|||_{{\cal W}_{j,\text{point}}^{1,\infty;P_-}}(x) \lesssim e^{-2^{-j}t}|||h_0|||_{{\cal W}_{j,\text{point}}^{d+1,\infty;P_-}}(x) + |||g|||_{{\widetilde{\cal W}}_{j,\text{point}}^{d+1,\infty;P_{\pm}}}([0,t])$。
• 在指数情形（$P_+(z) = e^{\lambda z}$）下，当$P_-(z) = e^{c\lambda z}$中的$c$足够小时，估计成立，确保衰减控制。
• 在多项式情形（$P_\pm(z) = z^{d_\pm}$）下，当$d_+ - d_-$足够大且时间指数$d'$足够大时，估计成立。
• Schauder估计可控制高阶导数$|\nabla^\kappa h|$（$|\kappa| \leq d+1$），表明解的正则性与数据光滑性成正比。