[论文解读] Generalized Petersen Graphs and Kronecker Covers

Matjaž Krnc, Tomaž Pisanski|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2019

Finite Group Theory Research被引用 5

一句话总结

本文通过确定参数 n 和 k 的精确条件，表征了哪些广义彼得森图 G(n,k) 是克罗内克覆盖（即通过与 K₂ 的张量积形成的二分双覆盖）。证明了 G(10,3) 是唯一一个作为两个非同构图（彼得森图和图 H）的克罗内克覆盖的广义彼得森图，而其他所有图要么是单个商图的克罗内克覆盖，要么根本不是克罗内克覆盖，其商图结构完全使用 LCF 符号描述。

ABSTRACT

Abstract: The family of generalised Petersen graphs G (n, k), introduced by Coxeter et al. [4] and named by Watkins (1969), is a family of cubic graphs formed by connecting the vertices of a regular polygon to the corresponding vertices of a star polygon. The Kronecker cover KC (G) of a simple undirected graph G is a special type of bipartite covering graph of G, isomorphic to the direct (tensor) product of G and K2. We characterize all generalised Petersen graphs that are Kronecker covers, and describe the structure of their respective quotients. We observe that some of such quotients are again generalised Petersen graphs, and describe all such pairs. The results of this paper have been presented at EUROCOMB 2019 and an extended abstract has been published elsewhere.

研究动机与目标

• 确定哪些广义彼得森图 G(n,k) 是某个图的克罗内克覆盖。
• 表征当 G(n,k) 是克罗内克覆盖时所得到的商图的结构。
• 识别广义彼得森图是否可以是多个非同构图的克罗内克覆盖。
• 使用 LCF 符号描述商图，并根据 n 和 k 的奇偶性与同余条件对它们进行分类。
• 建立每个克罗内克覆盖的商图的唯一性，除 G(10,3) 的例外情况外。

提出的方法

• 使用克罗内克覆盖构造作为张量积 G × K₂，定义具有两倍顶点数的二分双覆盖。
• 应用 Imrich 和 Pisanski（2007）的表征：一个二分图是克罗内克覆盖当且仅当其自同构群包含一个无不动点、颜色反转的对合（克罗内克对合）。
• 分析 G(n,k) 的自同构结构，以确定此类对合存在的条件，重点关注 n ≡ 0 或 2 (mod 4) 且 k 为奇数的情况。
• 定义并使用 LCF 符号表示立方哈密顿图，以表示商图，特别引入 C⁺(n,k) 和 C⁻(n,k) 作为从对合结构导出的图族。
• 通过加法群结构和基于 GCD 的轨道计数分析克罗内克对合的等价类，证明商图的唯一性。
• 基于 k mod 4（k ≡ 1 或 3 mod 4）进行案例分析，以在条件 k² ≡ 1 mod n 且 n 整除 (k²−1)/2 下区分 C⁺(n,k) 和 C⁻(n,k) 商图族。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些参数 (n,k)，广义彼得森图 G(n,k) 是某个图的克罗内克覆盖？
• RQ2 广义彼得森图是否可以是多个非同构图的克罗内克覆盖？
• RQ3 当 G(n,k) 是克罗内克覆盖时，其商图的结构是什么？
• RQ4 在什么 n 和 k 的条件下，商图本身也是广义彼得森图？
• RQ5 每个克罗内克覆盖的商图是否唯一？还是多个非等价对合可能产生同构的商图？

主要发现

• G(10,3) 是唯一一个作为两个非同构图（彼得森图和图 H）的克罗内克覆盖的广义彼得森图。
• 当 n ≡ 2 (mod 4) 且 k 为奇数时，G(n,k) 是克罗内克覆盖；若 4k < n，其商图为 G(n/2, k)，若 n < 4k < 2n，则商图为 G(n/2, n/2 − k)。
• 当 n ≡ 0 (mod 4) 且 k 为奇数时，G(n,k) 是克罗内克覆盖当且仅当 n 整除 (k²−1)/2 或 (n,k) = (8,3)；若 k ≡ 1 (mod 4)，商图为 C⁺(n,k)，若 k ≡ 3 (mod 4)，则商图为 C⁻(n,k)。
• 在其他所有情况下（例如 n 为偶数且 k 为偶数，或 n 为奇数），G(n,k) 不是克罗内克覆盖。
• 每个克罗内克覆盖的商图总是唯一的，除了 G(10,3) 有两个不同的商图。
• KC(G(n,k)) 本身是广义彼得森图当且仅当 n 为奇数，这意味着当 n 为偶数时，克罗内克覆盖不是广义彼得森图。