[论文解读] Generalized projections on general Banach spaces

Akhtar A. Khan, Jinlu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2022

Fixed Point Theorems Analysis被引用 7

一句话总结

本文在任意巴拿赫空间中引入并分析了两种广义投影概念——广义投影与广义度量投影，将其扩展至均匀凸或光滑空间之外的更一般设置。研究建立了变分原理、单调性及结构性质，并通过这些投影刻画了自反性与严格凸性，填补了希尔伯特空间之外投影理论中的关键空白。

ABSTRACT

In general Banach spaces, the metric projection map lacks the powerful properties it enjoys in Hilbert spaces. There are a few generalized projections that have been proposed in order to resolve many of the deficiencies of the metric projection. However, such notions are predominantly studied in Banach spaces with rich topological structures, such as uniformly convex Banach spaces. In this paper, we investigate two notions of generalized projection in general Banach spaces. Various examples are provided to demonstrate the proposed notions and the loss of structure in the generalized projections after migrating from specially structured Banach spaces to general Banach spaces. Connections between the generalized projection and the metric projection are thoroughly explored.

研究动机与目标

• 将广义投影理论从均匀凸或光滑巴拿赫空间扩展至一般巴拿赫空间。
• 解决在任意巴拿赫空间中度量投影与广义投影缺乏结构性质及变分刻画的问题。
• 定义并研究从原空间到凸集的新广义度量投影映射概念。
• 通过广义投影映射刻画自反性与严格凸性。
• 建立广义投影、度量投影与正规化对偶映射之间的联系。

提出的方法

• 通过正规化对偶映射的对偶配对，在任意巴拿赫空间中定义闭集（不一定是凸集）上的广义投影。
• 提出一种新的广义度量投影，从原空间映射到闭凸集，其灵感来源于变分不等式形式。
• 利用对偶映射 $ J $ 与正规化对偶映射定义广义投影，并分析其多值、单值或未定义的行为。
• 应用涉及 $ \langle j(x-z), z-y \rangle \geq 0 $ 的变分原理（其中 $ y \in C $），将其与度量投影的存在性联系起来。
• 通过对偶性与范数取到泛函，建立广义投影与度量投影之间的联系。
• 通过 $ \ell_1 $、$ c $ 与 $ \ell_\infty $ 中的例子，说明在非自反与非光滑空间中广义投影的结构差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设均匀凸性或光滑性的前提下，如何在一般巴拿赫空间中定义并分析广义投影？
• RQ2 广义投影在任意巴拿赫空间中的结构性质（如单值性、多值性或不存在性）是什么？
• RQ3 能否为广义投影建立变分原理？该原理是度量投影存在的必要条件还是充分条件？
• RQ4 广义度量投影在一般巴拿赫空间中如何与度量投影及正规化对偶映射关联？
• RQ5 能否通过广义投影的行为刻画巴拿赫空间的自反性与严格凸性？

主要发现

• 在一般巴拿赫空间中，广义投影在不同情况下可为多值、单值或未定义，如 $ \ell_1 $ 与 $ c $ 中的例子所示。
• 广义投影的变分原理部分成立：$ z \in P_C(x) $ 当且仅当存在 $ j(x-z) \in J(x-z) $，使得对所有 $ y \in C $，有 $ \langle j(x-z), z-y \rangle \geq 0 $。
• 广义度量投影是单调的，如命题 3.9 所证明，这扩展了希尔伯特空间投影的关键性质。
• 巴拿赫空间的自反性由广义投影映射到对偶空间的满射性刻画，如定理 2.8 所示。
• 通过广义相同点概念与正规化对偶映射 $ J $ 的单射性，论文建立了严格凸性的刻画，见于其对偶性分析。
• 正规化对偶映射的逆与广义度量投影相关联，从而可通过对偶性行为刻画严格凸空间。