[论文解读] Generalized Quantum Signal Processing

Danial Motlagh, Nathan Wiebe|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文提出了广义量子信号处理（GQSP），该框架通过使用一般 SU(2) 旋转替代受限基底旋转，扩展了量子信号处理，实现了在 |P| ≤ 1 条件下的单位矩阵多项式通用逼近。该方法为已知 P 和 Q 的情况提供了递归角度求解公式，并提出了一种针对仅已知 P 的高效 GPU 优化算法，可在一分钟内实现度数超过 10⁷ 的多项式合成。

ABSTRACT

Quantum Signal Processing (QSP) and Quantum Singular Value Transformation (QSVT) currently stand as the most efficient techniques for implementing functions of block encoded matrices, a central task that lies at the heart of most prominent quantum algorithms. However, current QSP approaches face several challenges, such as the restrictions imposed on the family of achievable polynomials and the difficulty of calculating the required phase angles for specific transformations. In this paper, we present a Generalized Quantum Signal Processing (GQSP) approach, employing general SU(2) rotations as our signal processing operators, rather than relying solely on rotations in a single basis. Our approach lifts all practical restrictions on the family of achievable transformations, with the sole remaining condition being that $|P|\leq 1$, a restriction necessary due to the unitary nature of quantum computation. Furthermore, GQSP provides a straightforward recursive formula for determining the rotation angles needed to construct the polynomials in cases where $P$ and $Q$ are known. In cases where only $P$ is known, we provide an efficient optimization algorithm capable of identifying in under a minute of GPU time, a corresponding $Q$ for polynomials of degree on the order of $10^7$. We further illustrate GQSP simplifies QSP-based strategies for Hamiltonian simulation, offer an optimal solution to the $ε$-approximate fractional query problem that requires $O(\frac{1}δ + \log(\large\frac{1}ε))$ queries to perform where $O(1/δ)$ is a proved lower bound, and introduces novel approaches for implementing bosonic operators. Moreover, we propose a novel framework for the implementation of normal matrices, demonstrating its applicability through the development of a new convolution algorithm that runs in $O(d \log{N} + \log^2N)$ 1 and 2-qubit gates for a filter of lengths $d$.

研究动机与目标

• 克服传统量子信号处理（QSP）的局限性，后者将可实现的多项式限制在特定奇偶性，并需要复杂的线性酉组合（LCU）分解。
• 通过引入广义 SU(2) 旋转，实现任意多项式逼近，从而消除 QSP 基于算法中对线性酉组合（LCU）的需求。
• 针对传统 QSP 中相位角计算复杂且不直观的问题，提出当已知 P 和 Q 时的递归公式，简化角度合成过程。
• 开发一种高效的优化算法，在仅已知目标多项式 P 的情况下计算相位角，实现在实际时间内合成高阶多项式。
• 将 QSP 扩展至新应用领域，如最优分数查询算法、基于量子化（qubitization）的高效哈密顿量模拟，以及用于卷积运算的循环矩阵与对角矩阵的合成。

提出的方法

• 以通用 SU(2) 旋转替代标准 QSP 中对 Z 或 X 基底旋转的依赖，作为信号处理算子，提升表达能力。
• 将广义信号处理变换表述为由旋转角度参数化的 SU(2) 矩阵的乘积，从而实现对酉矩阵任意多项式函数的表示。
• 推导出当目标多项式 P 及其共轭多项式 Q 均已知时，用于计算旋转角度的递归公式，简化角度合成过程。
• 提出一种基于 GPU 加速的优化算法，在仅给定 P 的情况下计算 Q 及对应的角度，实现度数高达 10⁷ 的多项式合成，耗时不足一分钟。
• 将 GQSP 应用于基于量子化的哈密顿量模拟，证明了分数查询问题的简化且最优的公式化，其查询复杂度为 O(1/δ + log(1/ε))。
• 利用傅里叶对角化后循环矩阵的多项式表示，仅使用 O(d log N + log² N) 个单量子比特和双量子比特门，即可实现卷积运算。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否将 QSP 扩展至固定基底旋转之外，实现对满足 |P| ≤ 1 条件下任意单位矩阵多项式的通用逼近？
• RQ2 当目标多项式 P 已知但 Q 未知时，如何简化 QSP 中相位角的计算？
• RQ3 GQSP 是否能够实现量子算法（如哈密顿量模拟与分数查询）的最优且简化的实现？
• RQ4 GQSP 在将 QSVT 扩展至一般矩阵方面具有何种潜力，特别是对对角矩阵与循环矩阵？
• RQ5 GQSP 是否可适配多变量 QSP，或可扩展至非方阵矩阵的量子奇异值变换？

主要发现

• GQSP 在 |P| ≤ 1 约束下，实现了对任意酉矩阵多项式函数的通用逼近，消除了以往对奇偶性与分解方式的限制。
• 当已知 P 和 Q 时，递归角度求解公式的引入显著简化了目标多项式的合成过程，使 QSP 更易用且计算更可行。
• GPU 优化算法可在一分钟内完成度数超过 10⁷ 的多项式相位角计算，显著优于以往方法（最高仅支持约 10⁴ 次多项式）。
• GQSP 为 ε-近似分数查询问题提供了最优解，查询复杂度为 O(1/δ + log(1/ε))，与理论下界 O(1/δ) 一致。
• 该方法通过仅使用 O(d log N + log² N) 个单量子比特与双量子比特门，实现了高效的卷积运算，为求解离散卷积系统提供了可扩展的方案。
• GQSP 简化并最优地实现了基于量子化的哈密顿量模拟，并可通过傅里叶基下的多项式分解，直接合成对角矩阵与循环矩阵。