[论文解读] Generalized Rédei rational functions and rational approximations over conics

Stefano Barbero, Umberto Cerruti+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2012

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一句话总结

本文将 Rédei 有理函数和定义在域 $\field{F}$ 上的双曲型圆锥曲线 $x^2 + hxy - dy^2 = 1$ 上的群结构进行推广，通过商域建立群律并实现参数化。引入广义 Rédei 多项式以高效计算点乘法，并利用相关参数的连分数展开推导出二次无理数的有理逼近，从而在圆锥曲线上生成新的收敛序列，包括当 $\beta = \tau$ 时的毕达哥拉斯三元组。

ABSTRACT

In this paper we study a general class of conics starting from a quotient field. We give a group structure over these conics generalizing the construction of a group over the Pell hyperbola. Furthermore, we generalize the definition of Rédei rational functions in order to use them for evaluating powers of points over these conics. Finally, we study rational approximations of irrational numbers over conics, obtaining a new result for the approximation of quadratic irrationalities.

研究动机与目标

• 将圆锥曲线上群结构的定义从佩尔双曲线推广至包含椭圆和抛物线的任意圆锥曲线，通过商域构造实现。
• 将 Rédei 有理函数扩展至更广义的圆锥曲线类 $E_{\field{F}}(h,d)$，以实现点幂运算的高效计算。
• 提出一种方法，通过将连分数渐近分数映射至圆锥曲线上点的方式，实现无理数的有理逼近。
• 展示如何利用圆锥曲线参数化方法系统生成二次无理数（包括 $\tau$）的有理逼近，其中包含由圆锥曲线参数化导出的毕达哥拉斯三元组。

提出的方法

• 对不可约多项式 $x^2 - hx - d$，构造商域 $\field{A} = \field{F}[x]/(x^2 - hx - d)$，定义范数、迹和共轭运算。
• 定义单位群 $U = \{a + bx \in \field{A}^* : N(a + bx) = 1\}$，其与圆锥曲线 $E_{\field{F}}(h,d)$ 双射，从而诱导出群律 $\odot_E$。
• 通过矩阵 $M = \begin{pmatrix} z+h & d \\ 1 & z \end{pmatrix}$ 的幂次生成的递推序列 $N_n(h,d,z)$ 和 $D_n(h,d,z)$，引入广义 Rédei 有理函数，实现圆锥曲线上点乘法的高效计算。
• 利用参数化映射 $\epsilon: m \mapsto \left( \frac{m^2 + d}{m^2 + hm - d}, \frac{2m + h}{m^2 + hm - d} \right)$ 将 $\field{F} \cup \{\alpha\}$ 映射至 $E_{\field{F}}(h,d)$，其中 $\alpha$ 为单位元。
• 将辅助无理数 $\alpha$ 的连分数渐近分数 $p_n/q_n$ 映射至圆锥曲线上的点 $(x_n, y_n) = (f(p_n/q_n), g(p_n/q_n))$。
• 建立商群 $\field{A}^*/\field{F}^*$ 与参数化群 $(P, \odot_P)$ 的同构关系，其中 $a \odot_P b = \frac{d + ab}{h + a + b}$（当 $a + b \neq -h$ 时成立）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将佩尔双曲线上的群结构推广至任意圆锥曲线 $x^2 + hxy - dy^2 = 1$ 在域 $\field{F}$ 上的结构？
• RQ2 Rédei 有理函数能否通过递推序列扩展至广义圆锥曲线上点的幂运算计算？
• RQ3 辅助参数的连分数展开与圆锥曲线上无理数的有理逼近之间存在何种关系？
• RQ4 如何利用圆锥曲线参数化与渐近分数系统地生成二次无理数的有理逼近？
• RQ5 该框架对构造逼近 $\pi$ 的毕达哥拉斯三元组有何启示？

主要发现

• 通过商域 $\field{A} = \field{F}[x]/(x^2 - hx - d)$ 的单位群与圆锥曲线 $E_{\field{F}}(h,d)$ 之间的双射关系，在 $E_{\field{F}}(h,d)$ 上建立了群结构，单位元为 $(1,0)$，逆元为 $(x,y)^{-1} = (x + hy, -y)$。
• 广义 Rédei 函数通过递推序列 $N_n(h,d,z)$ 和 $D_n(h,d,z)$ 定义，可高效计算 $E_{\field{F}}(h,d)$ 上点的 $n$ 次幂。
• 当 $\field{F} = \mathbb{R}$ 时，通过求解 $\frac{2\alpha + h}{\alpha^2 + d} = \beta$ 构造任意无理数 $\beta$ 的有理逼近，解得 $\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{1 + \beta^2}}{\beta}$，其恒为无理数。
• 无理数 $\alpha$ 的连分数渐近分数 $p_n/q_n$ 生成圆锥曲线 $E_{\field{R}}(h,d)$ 上的点列 $(x_n, y_n)$，满足 $\lim_{n \to \infty} y_n / x_n = \beta$。
• 当 $h = 0, d = -1$ 时，圆锥曲线退化为单位圆 $x^2 + y^2 = 1$，该方法可生成逼近 $\pi$ 的毕达哥拉斯三元组，如 $24/7 \approx 3.4285$ 和 $165/52 \approx 3.1730$。
• 具体实例表明，$\pi$ 的逼近精度逐步提高：$24/7 \approx 3.4285$，$165/52 \approx 3.1730$，$988/315 \approx 3.1365$，$12648/4025 \approx 3.1423$，最终收敛至 $\pi \approx 3.14159$。