[论文解读] Generalized sampling: stable reconstructions, inverse problems and compressed sensing over the continuum

Ben Adcock, Anders C. Hansen+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2013

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 65被引用 29

一句话总结

本文提出了广义采样（GS），用于在无限维希尔伯特空间中对信号和图像进行稳定、准最优的重建，将其扩展至连续域上的反问题和压缩感知。研究表明，基于小波的重建方法在傅里叶采样下具有鲁棒性和高精度，且无需依赖受限等距性质（RIP），而RIP被证明不足以解释医学成像及相关应用中实际恢复性能的表现。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to report on recent approaches to reconstruction problems based on analog, or in other words, infinite-dimensional, image and signal models. We describe three main contributions to this problem. First, linear reconstructions from sampled measurements via so-called generalized sampling (GS). Second, the extension of generalized sampling to inverse and ill-posed problems. And third, the combination of generalized sampling with sparse recovery techniques. This final contribution leads to a theory and set of methods for infinite-dimensional compressed sensing, or as we shall also refer to it, compressed sensing over the continuum.

研究动机与目标

• 解决连续反问题（如MRI、CT）与标准重建算法中使用的有限维离散模型之间的根本性不匹配问题。
• 开发一种直接在无限维函数空间中运行的稳定、线性重建框架——广义采样（GS）。
• 通过前向算子的奇异值分解（SVD）对GS进行正则化，将其扩展至不适定反问题。
• 将GS与稀疏恢复技术结合，实现无限维压缩感知，从而实现从亚奈奎斯特采样中稳定重建。
• 通过证明RIP在实际压缩感知中作用有限，挑战其在实践中的有效性，表明其无法准确预测真实世界中的重建质量。

提出的方法

• 将重建问题表述为：从采样框架 $ \{\psi_j\} $ 的测量值 $ \hat{f}_j = \langle f, \psi_j \rangle $ 中恢复函数 $ f \in \mathrm{H} $，并在另一框架 $ \{\varphi_j\} $ 中进行重构。
• 提出广义采样（GS）作为一种线性、数值稳定的映射方法，将采样框架中的测量值转换为重构框架中的系数。
• 通过前向算子 $ \mathcal{A} $ 的SVD，将GS应用于形式为 $ \mathcal{A}f = g $ 的反问题，其中 $ \mathcal{A} $ 是连续线性算子，并引入正则化。
• 通过在稀疏化框架（如小波）中表示信号，并从傅里叶采样中求解系数，将GS与 $ \ell^1 $-最小化相结合，实现稀疏恢复。
• 采用多级采样方案对傅里叶系数进行子采样，同时保持重建精度。
• 通过数值实验——特别是反转小波系数的排序——测试恢复的鲁棒性，并证明RIP无法解释实际性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不离散化问题的前提下，直接在无限维函数空间中实现稳定且准确的重建？
• RQ2 广义采样如何扩展至如断层扫描和MRI中出现的不适定反问题？
• RQ3 受限等距性质（RIP）在连续域压缩感知中在多大程度上能准确预测恢复性能？
• RQ4 为何基于RIP的标准压缩感知保证无法解释实际成像应用中算法的成功？
• RQ5 渐近相干性和稀疏性是否能为分析无限维压缩感知提供比RIP更准确的理论框架？

主要发现

• 广义采样实现了在无限维希尔伯特空间中从采样测量值进行稳定且准最优的信号重建，其误差界与采样系统的条件数无关。
• GS可从 $ n $ 个傅里叶测量值中准确恢复出 $ \mathcal{O}(n) $ 个小波系数，实现高保真度重建，且无需离散化误差。
• 该方法通过前向算子 $ \mathcal{A} $ 的SVD实现Tikhonov型正则化，成功扩展至反问题，确保了稳定性与收敛性。
• 数值实验表明，即使采样模式和稀疏度水平相同，仅改变小波系数的排序，也会导致重建结果截然不同，说明重建质量取决于系数结构，而不仅仅是稀疏性。
• 受限等距性质（RIP）无法预测实际恢复性能：当系数排序改变时，相同的采样模式和稀疏度水平会产生截然不同的结果，这与RIP假设的排列不变性相矛盾。
• 结果表明，RIP导致对所需测量数的估计过于悲观，而基于相干性的理论框架在理解无限维压缩感知中的恢复性能方面更具相关性。