[论文解读] Generalized Schrodinger Equation and Constructions of Quantum Field Theory

A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2003

advanced mathematical theories参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文从高维场论中的变分原理出发，推导出一个广义的薛定谔方程，为无需正规排序的量子场论提供了数学上严格的框架。它提出了一种新颖的费曼路径积分定义，即该方程的解，通过哈密顿-雅可比理论与泛函导数，建立了泛函演化与路径积分量化之间的直接联系。

ABSTRACT

The generalized Schrodinger equation deduced in the earlier papers is compared with conventional constructions of quantum field theory. In particular, it yields the usual Schrodinger equation of quantum field theory written without normal ordering. This leads to a definition of certain mathematical version of Feynman integral.

研究动机与目标

• 通过泛函导数，从多维变分原理推导广义薛定谔方程。
• 将该方程与传统的量子场论构造（特别是朝永-施温格方程）进行比较。
• 利用广义薛定谔方程下的泛函演化，定义数学上严格的费曼路径积分版本。
• 通过直接对哈密顿-雅可比泛函进行量子化，消除量子场论中正规排序的需求。
• 研究标准量子场论拉格朗日量下广义薛定谔方程的可积性。

提出的方法

• 使用变分法与泛函导数，从作用泛函推导广义哈密顿-雅可比方程。
• 通过将泛函导数替换为动量算符，应用正则量子化程序：$ \frac{\delta S}{\delta z^i} \to -ih \frac{\delta}{\delta z^i} $。
• 将广义薛定谔方程表述为泛函 $ \Psi(C) $ 的线性泛函微分方程组，其中 $ C $ 是一个类空曲面。
• 选择特定参数化 $ s^k = x^k $，将方程组约化为时间 $ x^0 $ 上的单个演化方程（14），其形式类似于朝永-施温格方程。
• 将数学上的费曼积分定义为：给定初始泛函 $ \Psi_0 $，在终态类空曲面 $ \mathcal{C}_1 $ 上，演化泛函 $ \Psi $ 的取值。
• 推导出平坦类空曲面上的标准薛定谔方程（17），表明其虽无正规排序，但保持数学上的严谨性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从多维场论中的变分原理推导出广义薛定谔方程？
• RQ2 所推导的薛定谔方程中缺乏正规排序，是否会影响其与传统量子场论的一致性？
• RQ3 广义薛定谔方程是否可积，使得泛函的演化仅依赖于初态与终态曲面？
• RQ4 能否通过广义薛定谔方程下的泛函演化，构造出数学上明确定义的费曼路径积分版本？
• RQ5 广义薛定谔方程所描述的泛函演化，对于传统拉格朗日量是否与标准路径积分在量子场论中给出相同结果？

主要发现

• 广义薛定谔方程由拉格朗日密度的勒让德变换与泛函导数导出，形成一组线性泛函微分方程。
• 方程（14）约化为与朝永-施温格方程形式相似的形式，但无需正规排序，为标准形式提供了一种数学上严谨的替代方案。
• 泛函 $ \Psi(C) $ 与曲面 $ C $ 的参数化无关，确保了波泛函演化过程中的几何一致性。
• 提出了一种新的数学上明确定义的费曼路径积分：即给定初始泛函 $ \Psi_0 $ 时，演化泛函 $ \Psi $ 在终态曲面 $ \mathcal{C}_1 $ 上的取值。
• 对于平坦类空曲面，广义薛定谔方程退化为标准薛定谔方程（17），其虽无正规排序，但数学上仍严格成立。
• 本文猜想，对于传统量子场论拉格朗日量，广义薛定谔方程是可积的，意味着演化仅依赖于初态与终态曲面，而与形变路径无关。