[论文解读] Generalized Schrodinger equation for free field

A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2006

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 8被引用 12

一句话总结

本文提出了一种数学上严格、自洽的自由标量场的量子化程序，采用在可观测量的外尔代数中表述的广义薛定谔方程，避免了有问题的福克空间和正常排序。该方法在不引入无穷大抵消项的情况下，得到了标准费曼 propagator 和格林函数，为在任意类空曲面上实现一致的量子化提供了基础，并为相互作用场的形变量子化指明了方向。

ABSTRACT

We give a logically and mathematically self-consistent procedure of quantization of free scalar field, including quantization on space-like surfaces. A short discussion of possible generalization to interacting fields is added.

研究动机与目标

• 提供自由标量场在逻辑和数学上自洽的量子化方法，解决标准福克空间方法中发散和正常排序的问题。
• 在任意类空曲面上（包括弯曲曲面）形式化一个广义薛定谔方程，推广标准的时间演化方程。
• 证明自由量子场的动力学更应通过可观测量代数在海森堡表象中描述，而非通过态泛函的薛定谔表象。
• 为通过相空间代数的形变量子化方法将此形式化推广至相互作用场奠定基础。
• 解决汤川-施温格方程及相关在弯曲类空超曲面上的相对论性场论量子化缺乏严格数学基础的问题。

提出的方法

• 从场论中的变分原理推导广义薛定谔方程，将场视为类空曲面上的泛函。
• 在可观测量的外尔代数中工作，用算子代数替代态泛函的希尔伯特空间，从而避免由无限真空能量引起的发散。
• 使用 Moyal 乘积在场和动量变量的泛函上定义非交换代数结构，实现一致的时间演化。
• 求解含源自由场的广义薛定谔方程，得到费曼 propagator 作为时间有序乘积的真空期望值。
• 提出使用相空间上外尔代数丛、阿贝尔联络和哈密顿流，对相互作用场采用形变量子化方法。
• 应用 Fedosov 方法构造泛函的泊松代数的形式形变，导出一个简化演化方程，其中包含重整化的哈密顿量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖福克空间和正常排序的前提下，严格定义自由标量场的标准薛定谔方程？
• RQ2 能否形式化一个广义薛定谔方程，使其在包括弯曲曲面在内的任意类空曲面上一致地描述场的动力学？
• RQ3 为何海森堡表象——即通过可观测量代数描述动力学——对于自由场而言比薛定谔表象更数学自洽？
• RQ4 通过从一开始就采用外尔代数形式化，是否能系统性地避免微扰量子场论中出现的发散？
• RQ5 是否可能通过经典相空间的形变量子化，将此严格框架推广至相互作用场？

主要发现

• 在外尔代数框架下的广义薛定谔方程，无需正常排序或减去无穷常数，即可得到自由标量场的标准费曼 propagator。
• 场算符时间有序乘积的真空期望值通过表达式 $ Z(j) = \exp\left(-\frac{i}{2h}\int \frac{\hat{j}(p)\hat{j}(-p)}{p^2 - m^2 + i\varepsilon} dp \right) $ 再现了格林函数的生成泛函。
• 标准福克空间构造在薛定谔绘景中无法为哈密顿算符提供数学上一致的表示，原因在于其矩阵元发散。
• 海森堡绘景基于外尔代数，是自由量子场一致动力学的唯一可行框架，因为薛定谔绘景会导致未定义的泛函。
• 对于相互作用场，本文建议使用 Fedosov 方法在外尔代数丛上进行形变量子化，可能提供一个形式上一致但尚未解决重整化问题的框架。
• 提出简化演化方程 $ ih\frac{\partial\Phi}{\partial t} = [H + \mathcal{H}_1, \Phi] $ 作为重整化动力学的候选，但有限结果的显式计算仍待解决。