[论文解读] Generalized selfish bin packing

György Dósa, Leah Epstein|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2012

Game Theory and ApplicationsDecision Sciences参考文献 22被引用 18

一句话总结

本文研究了一类广义的自私装箱博弈，其中物品的成本按重量成比例分摊，分析了纯纳什均衡、强均衡以及弱 Pareto 最优均衡。研究发现，对于一般权重，所有四种价格的无效率（PoA）值均为 1.7；而对于单位权重，这些值严格低于 1.7——其中强 PoA ≈1.691，而严格 Pareto 最优 PoA 显著更低——凸显了与经典装箱行为的关键差异。

ABSTRACT

Standard bin packing is the problem of partitioning a set of items with positive sizes no larger than 1 into a minimum number of subsets (called bins) each having a total size of at most 1. In bin packing games, an item has a positive weight, and given a valid packing or partition of the items, each item has a cost or a payoff associated with it. We study a class of bin packing games where the payoff of an item is the ratio between its weight and the total weight of items packed with it, that is, the cost sharing is based linearly on the weights of items. We study several types of pure Nash equilibria: standard Nash equilibria, strong equilibria, strictly Pareto optimal equilibria, and weakly Pareto optimal equilibria. We show that any game of this class admits all these types of equilibria. We study the (asymptotic) prices of anarchy and stability (PoA and PoS) of the problem with respect to these four types of equilibria, for the two cases of general weights and of unit weights. We show that while the case of general weights is strongly related to the well-known First Fit algorithm, and all the four PoA values are equal to 1.7, this is not true for unit weights. In particular, we show that all of them are strictly below 1.7, the strong PoA is equal to approximately 1.691 (another well-known number in bin packing) while the strictly Pareto optimal PoA is much lower. We show that all the PoS values are equal to 1, except for those of strong equilibria, which is equal to 1.7 for general weights, and to approximately 1.611824 for unit weights. This last value is not known to be the (asymptotic) approximation ratio of any well-known algorithm for bin packing. Finally, we study convergence to equilibria.

研究动机与目标

• 分析广义自私装箱博弈中多种均衡的存在性与性质——包括纳什均衡、强均衡、严格 Pareto 最优均衡与弱 Pareto 最优均衡，该博弈采用比例成本分摊机制。
• 计算在一般权重与单位权重下，四种均衡类型的渐近价格无效率（PoA）与价格稳定性（PoS）。
• 研究均衡的收敛性，并将均衡性能与最优解进行比较。
• 识别所观察到的 PoA 与 PoS 值是否对应于经典装箱算法的已知近似比。

提出的方法

• 将装箱问题建模为策略博弈，其中每个物品的收益为其重量除以所在箱内总重量，从而诱导出比例成本分摊机制。
• 定义并分析四种均衡类型：标准纳什均衡（NE）、强纳什均衡（SNE）、严格 Pareto 最优 NE（SPO-NE）与弱 Pareto 最优 NE（WPO-NE）。
• 使用势函数技术来界定收敛至均衡的时间，针对过程的不同阶段采用不同的势函数。
• 应用渐近近似比分析来计算 PoA 与 PoS，比较一般权重与单位权重下的结果。
• 通过组合论证与情形分析，推导出收敛序列中步骤数的上界。
• 利用装箱问题中的已知结果（例如 First Fit 的近似比）将博弈论度量与经典算法联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义自私装箱博弈的每个实例是否都存在全部四种均衡：NE、SNE、SPO-NE 与 WPO-NE？
• RQ2 在一般权重与单位权重下，四种均衡类型的渐近价格无效率（PoA）分别是多少？
• RQ3 单位权重下的 PoA 与 PoS 值与一般权重下的值相比如何？它们是否与经典装箱算法的已知近似比一致？
• RQ4 单位权重下的强价格稳定性（PoS）是否等于任何标准装箱算法的已知近似比？
• RQ5 能否使用势函数方法对收敛至均衡的过程进行有界控制？这对算法设计有何启示？

主要发现

• 对于一般权重，所有四种价格无效率（PoA）值均为 1.7，与 First Fit 算法的已知渐近近似比一致。
• 对于单位权重，强 PoA 约为 1.691，这是装箱问题中的一个著名常数，但严格 Pareto 最优 PoA 显著更低。
• 价格稳定性（PoS）在所有均衡类型中均为 1，除了强均衡：对于一般权重，PoS(SNE) = 1.7；对于单位权重，PoS(SNE) ≈ 1.611824，该值未被已知标准算法的近似比所对应。
• 所有 PoS 值均为 1，除了强均衡，表明在大多数稳定配置中均可实现最优解，唯独在强均衡情况下例外。
• 本文表明，严格 Pareto 最优均衡比标准纳什均衡高效得多，尤其在单位权重情况下，SPO-PoA 远低于标准 PoA。
• 通过势函数分析可保证均衡的收敛性并实现有界控制，步骤数通过组合求和与基于箱配置的分情形推理推导得出。