[论文解读] Generalized spheroidal wave equation and limiting cases

Bartolomeu D. B. Figueiredo|ArXiv.org|Nov 19, 2006

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文提出了一套统一的框架，包含三种收敛级数解——正幂级数、常规与非正则合流合流超几何函数——用于广义球面波方程（GSWE），该方程等价于合流Heun方程。通过应用Leaver和Whittaker-Ince的极限过程，这些解可生成双合流Heun方程、Whittaker-Hill方程及Mathieu方程的无穷级数解，包括以贝塞尔函数表示的Mathieu方程新展开式，以及量子自旋系统中非对称双Morse势的新型解。

ABSTRACT

We find sets of solutions to the generalized spheroidal wave equation (GSWE) or, equivalently, to the confluent Heun equation. Each set is constituted by three solutions, one given by a series of ascending powers of the independent variable, and the others by series of regular and irregular confluent hypergeometric functions. For a fixed set, the solutions converge over different regions of the complex plane but present series coefficients proportional to each other. These solutions for the GSWE afford solutions to a double-confluent Heun equation by a taking-limit process due to Leaver. Another procedure, called Whittaker-Ince limit, provides solutions in series of powers and Bessel functions for two other equations with a different type of singularity at infinity. In addition, new solutions are obtained for the Whittaker-Hill and Mathieu equations by considering these as special cases of both the confluent and double-confluent Heun equations. In particular, we find that each of the Lindmann-Stieltjes solutions for the Mathieu equation is associated with two expansions in series of Bessel functions. We also discuss a set of solutions in series of hypergeometric and confluent hypergeometric functions for the GSWE and use their Leaver limits to obtain infinite-series solutions for the Schrödinger equation with an asymmetric double-Morse potential. Finally, the possibility of extending the solutions of the GSWE to the general Heun equation is briefly discussed.

研究动机与目标

• 推导广义球面波方程（GSWE）的完整三类收敛级数解，每类解在复平面上的不同区域有效。
• 通过极限过程建立GSWE与其他特殊方程（如双合流Heun方程（DCHE）、Whittaker-Hill方程及Mathieu方程）之间的联系。
• 利用GSWE解的Leaver极限，为具有非对称双Morse势的薛定谔方程提供新的无穷级数解。
• 证明已知的Mathieu方程解（Lindmann-Stieltjes）可通过GSWE框架与两种不同的贝塞尔函数展开式相联系。
• 探索通过变换与极限程序，将GSWE解推广至一般Heun方程的可能性。

提出的方法

• 推导GSWE的三类解：一类为自变量的正幂级数解，另两类为常规与非正则合流超几何函数的级数解。
• 对GSWE应用Leaver的极限过程，以获得双合流Heun方程（DCHE）的解，而无需直接积分DCHE。
• 利用Whittaker-Ince极限，将GSWE与DCHE的解转化为具有无穷远点不同奇点的两个新方程的解。
• 利用Whittaker-Hill方程与Mathieu方程均为GSWE与DCHE的特例这一事实，为这些方程导出双重或三重级数展开。
• 通过Heun方程的变换理论构造GSWE的解，包括幂变换与变量代换，以生成新的解集。
• 利用从合流超几何函数导出的系数递推关系，并应用收敛性分析以验证级数解的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地推导出具有成比例系数的广义球面波方程（GSWE）的完整三类收敛级数解？
• RQ2 哪些极限过程（Leaver与Whittaker-Ince）使得GSWE能够生成双合流Heun方程及具有不同无穷远点奇点的另外两个方程的解？
• RQ3 GSWE的解如何导出Mathieu方程的新无穷级数展开式，特别是以贝塞尔函数表示的形式？
• RQ4 GSWE框架能否为具有非对称双Morse势的薛定谔方程提供新解？若能，其与先前尝试有何不同？
• RQ5 通过变换与极限程序，GSWE解在多大程度上可被推广至一般Heun方程？

主要发现

• GSWE具有三类具有成比例系数的收敛级数解：一类为自变量的正幂级数解，另两类为常规与非正则合流超几何函数的级数解。
• 通过将Leaver极限过程应用于GSWE解，获得了双合流Heun方程（DCHE）的解，避免了对DCHE的直接积分。
• Whittaker-Ince极限导出了两个具有不同无穷远点奇点的新方程，其解可直接从GSWE与DCHE的解导出，而无需直接求解这些方程。
• Mathieu方程被证明具有三类解：一类来自GSWE，两类来自Whittaker-Ince极限，且每类Lindmann-Stieltjes解均对应两种不同的贝塞尔函数展开式。
• Whittaker-Hill方程被发现具有两类级数解，分别作为GSWE与DCHE的特例导出。
• 当GSWE解经Leaver极限处理后，可为具有非对称双Morse势的薛定谔方程生成无穷级数解，解决了文献中此前未成功的尝试。