[论文解读] Generalized Tensor Function via the Tensor Singular Value Decomposition based on the T-Product

Yun Miao, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 46被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于张量奇异值分解（T-SVD）和T-积的广义张量函数框架，实现了将矩阵函数推广至长方张量。该研究建立了关键工具，如紧凑SVD（T-CSVD）、柯西积分公式和广义张量幂，证明了F-随机结构和张量锥在这些函数下的不变性，并在数据科学和张量方程中展示了应用。

ABSTRACT

In this paper, we present the definition of generalized tensor function according to the tensor singular value decomposition (T-SVD) via the tensor T-product. Also, we introduce the compact singular value decomposition (T-CSVD) of tensors via the T-product, from which the projection operators and Moore Penrose inverse of tensors are also obtained. We also establish the Cauchy integral formula for tensors by using the partial isometry tensors and applied it into the solution of tensor equations. Then we establish the generalized tensor power and the Taylor expansion of tensors. Explicit generalized tensor functions are also listed. We define the tensor bilinear and sesquilinear forms and proposed theorems on structures preserved by generalized tensor functions. For complex tensors, we established an isomorphism between complex tensors and real tensors. In the last part of our paper, we find that the block circulant operator established an isomorphism between tensors and matrices. This isomorphism is used to prove the F-stochastic structure is invariant under generalized tensor functions. The concept of invariant tensor cones is also raised.

研究动机与目标

• 通过张量T-积和T-SVD框架，将广义矩阵函数推广至长方张量。
• 定义并分析张量紧凑奇异值分解（T-CSVD），并探讨其在推导投影算子和张量Moore-Penrose广义逆中的作用。
• 利用部分等距张量建立张量函数的柯西积分公式，并应用于求解张量方程。
• 研究广义张量函数下的结构不变性，包括F-随机张量和张量锥。
• 探索复张量与实张量之间、张量与矩阵之间的同构关系，实现在不同域之间传递性质。

提出的方法

• 通过T-SVD提出广义张量函数 $ f^{igtriangleup}(oldsymbol{ancyscript{A}}) $，定义为 $ \text{fold}(f(\text{bcirc}(\boldsymbol{\fancyscript{A}})) \boldsymbol{\fancyscript{E}}_1^{np \times n}) $，将Lund的F-平方张量函数推广至长方张量。
• 引入张量紧凑奇异值分解（T-CSVD），将张量表示为 $ \boldsymbol{\fancyscript{A}} = \boldsymbol{\fancyscript{U}} * \boldsymbol{\fancyscript{S}} * \boldsymbol{\fancyscript{V}}^H $，支持秩和投影分析。
• 利用部分等距张量推导张量函数的柯西积分公式，实现解析延拓并求解张量方程。
• 定义广义张量幂，并基于T-SVD框架建立张量函数的泰勒展开。
• 利用块循环算子建立张量与矩阵之间的同构关系，实现矩阵理论性质的转移。
• 引入张量锥概念，并证明当 $ f $ 为非负且在 $ x > 0 $ 时非增时，该结构在广义张量函数下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过T-积和T-SVD将广义矩阵函数从矩阵推广至长方张量？
• RQ2 广义张量函数保持哪些结构不变性，例如F-随机性和张量锥性质？
• RQ3 张量函数的柯西积分公式如何促进张量方程的求解？
• RQ4 块循环同构在将矩阵性质传递至张量中起到何种作用？
• RQ5 在何种条件下张量锥在广义张量函数下保持不变？

主要发现

• 广义张量函数 $ f^{igtriangleup}(\boldsymbol{\fancyscript{A}}) $ 通过T-SVD和T-CSVD在长方张量上定义良好，将经典矩阵函数理论推广至高阶张量。
• 当 $ f(1) = 1 $ 时，F-双重随机张量集合在广义张量函数 $ f^{igtriangleup} $ 下保持不变，该结论通过块循环矩阵同构得以证明。
• 由固定酉张量 $ \fancyscript{U}, \fancyscript{V} $ 定义的张量锥 $ \fancyscript{S}_{\fancyscript{U},\fancyscript{V}} $，在 $ f $ 为非负且在 $ x > 0 $ 时非增时，对 $ f^{igtriangleup} $ 保持不变。
• 若 $ f(x) > 0 $ 对所有 $ x > 0 $ 成立，则广义张量函数 $ f^{igtriangleup} $ 将张量锥的内部映射至自身，保持奇异管的严格正性。
• 利用部分等距张量建立了张量函数的柯西积分公式，支持解析处理并求解张量方程。
• 构建了复张量与实张量之间的同构关系，实现了将实张量函数结果推广至复张量函数。