[论文解读] Generalized Thue-Morse words and palindromic richness

Štěpán Starosta|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2011

semigroups and automata theory被引用 5

一句话总结

本文证明了广义的Thue-Morse词 $t_{b,m}$，定义为以 $b$ 为基的表示中数位和模 $m$ 的结果，是 $D_m$-丰富词——即其语言在同构于阶为 $2m$ 的二面体群的群 $D_m$ 下封闭，并且在 $D_m$ 中所有反同构下实现了最大回文丰富性。作者建立了一个广义的回文复杂度等式，确认了其 $D_m$-丰富性，并推导出在非周期性情形（$b \not\equiv 1 \pmod{m}$）下其因子复杂度的完整公式。

ABSTRACT

We prove that the generalized Thue-Morse word $\mathbf{t}_{b,m}$ defined for $b \geq 2$ and $m \geq 1$ as $\mathbf{t}_{b,m} = (s_b(n) \mod m)_{n=0}^{+\infty}$, where $s_b(n)$ denotes the sum of digits in the base-$b$ representation of the integer $n$, has its language closed under all elements of a group $D_m$ isomorphic to the dihedral group of order $2m$ consisting of morphisms and antimorphisms. Considering simultaneously antimorphisms $\Theta \in D_m$, we show that $\mathbf{t}_{b,m}$ is saturated by $\Theta$-palindromes up to the highest possible level. Using the terminology generalizing the notion of palindromic richness for more antimorphisms recently introduced by the author and E. Pelantov\'a, we show that $\mathbf{t}_{b,m}$ is $D_m$-rich. We also calculate the factor complexity of $\mathbf{t}_{b,m}$.

研究动机与目标

• . 本文旨在解决广义Thue-Morse词 $t_{b,m}$ 是否对一组自同态和反同构的群 $G$ 是 $G$-丰富的开放问题。
• . 本文研究 $t_{b,m}$ 语言的结构特性，特别是其在同构于阶为 $2m$ 的二面体群的群 $D_m$ 下的封闭性，以建立在多个反同构下的回文丰富性。
• . 本研究目标包括计算在非周期性情形（$b \not\equiv 1 \pmod{m}$）下 $t_{b,m}$ 的因子复杂度 $C(n)$，扩展经典Thue-Morse序列的已知结果。
• . 本研究旨在将回文丰富性的概念推广至多个反同构，为 $D_m$-丰富性提供作为经典回文丰富性的自然延伸的框架。

提出的方法

• . 本文将广义Thue-Morse词 $t_{b,m}$ 定义为 $t_{b,m}(n) = (s_b(n) \mod m)$，其中 $s_b(n)$ 是 $n$ 在基 $b$ 下的数位和，并证明其是某个本原替换 $\phi_{b,m}$ 的不动点。
• . 本文构造了一个包含 $2m$ 个元素的群 $D_m$（自同态和反同态），其同构于二面体群 $D_m$，并证明 $t_{b,m}$ 的语言在 $D_m$ 的所有元素下封闭。
• . 作者利用双特殊因子（BS）的性质、双边序 $b(w)$ 和回文扩展 $\text{Pext}_\Theta(w)$ 来分析 $t_{b,m}$ 语言的结构。
• . 他们应用恒等式 $\Delta^2 C(n) = \sum_{w \in L_n(u)} b(w)$ 来计算因子复杂度 $C(n)$，依赖于对双特殊因子按长度进行的详细情形分析。
• . 关键等式 $\Delta C(n) + 2m = \sum_{\Theta \in D_m, \Theta \text{ 反同构}} \left( P_\Theta(n) + P_\Theta(n+1) \right)$ 对所有 $n \geq 1$ 成立，从而确认了 $D_m$-丰富性。
• . 本文推导出在非周期性情形（$b \not\equiv 1 \pmod{m}$）下 $\Delta C(n)$ 和 $C(n)$ 的分段公式，基于由 $b$ 的幂次定义的区间。

实验结果

研究问题

• RQ1 . 广义Thue-Morse词 $t_{b,m}$ 是否在反同构群 $D_m$ 下实现最大回文丰富性？
• RQ2 . $t_{b,m}$ 的语言是否在同构于阶为 $2m$ 的二面体群的群 $D_m$ 的所有元素下封闭？
• RQ3 . 在非周期性情形（$b \not\equiv 1 \pmod{m}$）下，$t_{b,m}$ 的因子复杂度 $C(n)$ 的精确值是什么？
• RQ4 . 双特殊因子的双边序 $b(w)$ 和 $\Theta$-回文扩展 $\text{Pext}_\Theta(w)$ 如何贡献于 $t_{b,m}$ 的复杂度和丰富性？
• RQ5 . 广义回文丰富性条件（广义不等式中的等式）是否在所有 $n \geq 1$ 下对 $t_{b,m}$ 成立，从而确认 $D_m$-丰富性？

主要发现

• . $t_{b,m}$ 的语言在同构于阶为 $2m$ 的二面体群的群 $D_m$ 的所有元素下封闭，证明了 $t_{b,m}$ 是 $D_m$-丰富词。
• . 该词对所有 $n \geq 1$ 满足等式 $\Delta C(n) + 2m = \sum_{\Theta \in D_m, \Theta \text{ 反同构}} \left( P_\Theta(n) + P_\Theta(n+1) \right)$，从而确认了 $D_m$-丰富性。
• . 在非周期性情形（$b \not\equiv 1 \pmod{m}$）下，因子复杂度 $C(n)$ 由分段公式给出：$C(n) = qm(n-1) - m(n-2)$，其中 $2 \leq n \leq b$，而在由 $b$ 的幂次定义的区间内有更复杂的表达式，其中 $q = \gcd(b-1, m)$。
• . $t_{b,m}$ 中双特殊因子 $w$ 的双边序 $b(w)$ 在 $|w| \leq b-1$ 和 $|w| \in [b+1, 2b-2]$ 时为零，在 $|w| = b$ 时为 $1$，在 $|w| = 2b-1$ 时为 $-1$，且 $\#\text{Pext}_\Theta(w) = 1$ 或 $2$，取决于长度。
• . $\Theta$-回文扩展的数量 $\#\text{Pext}_\Theta(w)$ 在 $|w| \leq b-1$ 和 $|w| \in [b+1, 2b-2]$ 时为 $1$，在 $|w| = b$ 时为 $2$，而在 $|w| = 2b-1$ 时为 $0$，反映了在最大长度时回文扩展的消失。
• . 在周期性情形（$b \equiv 1 \pmod{m}$）下，因子复杂度为常数：对所有 $n > 0$ 有 $C(n) = m$，因为该词是最终周期的。