[论文解读] Generalized toric varieties for simple non-rational convex polytopes

Fiammetta Battaglia, Elisa Prato|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 12

一句话总结

本文通过复拟流形与拟环，为简单非有理凸多面体引入广义的环化几何，利用复商构造凯勒拟流形，推广了标准环化几何。证明了这些复拟流形与先前工作中得到的辛拟流形之间存在等变微分同胚，且复结构与辛结构相容，因此即使在多面体非有理时，这些空间仍构成凯勒拟流形。

ABSTRACT

We call complex quasifold of dimension k a space that is locally isomorphic to the quotient of an open subset of the space C^k by the holomorphic action of a discrete group; the analogue of a complex torus in this setting is called a complex quasitorus. We associate to each simple polytope, rational or not, a family of complex quasifolds having same dimension as the polytope, each containing a dense open orbit for the action of a suitable complex quasitorus. We show that each of these spaces M is diffeomorphic to one of the symplectic quasifolds defined in http://arXiv.org/abs/math:SG/9904179, and that the induced symplectic structure is compatible with the complex one, thus defining on M the structure of a Kaehler quasifold. These spaces may be viewed as a generalization of the toric varieties that are usually associated to those simple convex polytopes that are rational.

研究动机与目标

• 将环化几何的构造从有理多面体推广至非有理多面体，因为标准方法在非有理情形下失效。
• 定义一类新的复几何时空——复拟流形，使其能够建模非有理多面体。
• 通过微分同胚建立复拟流形与辛拟流形之间的对应关系，同时保持复结构与辛结构。
• 证明所得空间具有凯勒结构，从而推广经典凯勒环化几何框架。

提出的方法

• 将复拟流形定义为 C^n 关于离散全纯群作用的商，推广复流形。
• 引入复拟环作为此几何中环的自然替代，其作用具有一个在稠密开集上的轨道。
• 将复拟流形 M 构造为 C^d 中开子集关于子群 N_C ⊂ T^d_C = C^d / Z^d 的拓扑商，其中 d 为多面体的面数。
• 利用复商构造 M = C^d_Δ / N_C，定义一族复维数为 n 的紧致复拟流形。
• 证明每个 M 局部双全纯同构于 C^n 模离散群作用，满足复拟流形的公理。
• 建立复商 M 与先前工作中得到的辛拟流形之间的等变微分同胚 χ，表明复结构与辛结构相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过避开有理性假设的几何框架，将环化几何推广至非有理凸多面体？
• RQ2 在非有理多面体情形下，如何在单一几何对象上同时实现复结构与辛结构？
• RQ3 复拟流形与通过支撑函数构造的辛拟流形之间的确切关系为何？
• RQ4 能否在由非有理多面体导出的复拟流形上定义凯勒结构？
• RQ5 复拟环在作用于广义环化空间中起什么作用？它如何推广标准环的作用？

主要发现

• 该构造对任意简单凸多面体 Δ ⊂ d*，无论是否为有理多面体，均产生一族复维数为 n 的紧致复拟流形。
• 每个复拟流形 M 允许复拟环 D_C 的全纯作用，且具有一个在稠密开集上的轨道，推广了标准环化几何中的环作用。
• 复拟流形 M 通过微分同胚 χ 与 [P] 中得到的辛拟流形等变微分同胚，保持群作用。
• M 上诱导的辛结构与复结构相容，使 M 具备凯勒拟流形的结构。
• M 上的凯勒形式在局部由其万有覆叠上的显式微分形式给出，且在过渡映射下变换正确。
• 在区间 [0,1] 的例子中，复商被证明是微分同胚于拟球面的凯勒拟流形，其凯勒形式被显式计算并验证为不变且相容。