[论文解读] Generalized Tur\'an problems for disjoint copies of graphs

Dániel Gerbner, Abhishek Methuku+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文研究了图的不相交副本的广义Turán数，特别是 $ ex(n,H,kF) $，即在避免 $ k $ 个 $ F $ 的顶点不相交副本的 $ n $ 个顶点图中，$ H $ 的最大副本数。对于 $ H = K_3 $ 和多种 $ F $，本文建立了渐近界，表明 $ ex(n,K_3,kC_5) = (1+o(1))\binom{k-1}{3} \frac{n^6}{4^3} $，与 $ ex(n,K_3,C_5) $ 相比，其数量级出现显著跃升，并提出了一种新颖的计数方法，利用通用顶点和极值图结构。

ABSTRACT

Given two graphs $H$ and $F$, the maximum possible number of copies of $H$ in an $F$-free graph on $n$ vertices is denoted by $ex(n,H,F)$. We investigate the function $ex(n,H,kF)$, where $kF$ denotes $k$ vertex disjoint copies of a fixed graph $F$. Our results include cases when $F$ is a complete graph, cycle or a complete bipartite graph.

研究动机与目标

• 理解 $ ex(n,H,kF) $ 的行为，即在 $ n $ 个顶点的 $ kF $-自由图中 $ H $ 的最大副本数，其中 $ kF $ 表示 $ F $ 的 $ k $ 个顶点不相交副本。
• 研究当禁止 $ k $ 个不相交的 $ F $ 副本时，$ H $ 的极值副本数相较于仅禁止一个 $ F $ 副本时的变化。
• 为 $ H $ 是三角形且 $ F $ 是环、完全图或完全二部图时，建立 $ ex(n,H,kF) $ 的渐近或数量级界。
• 探索在 $ kF $-自由条件下最大化 $ H $-副本数的极值图的结构特性，特别是利用通用顶点和Turán型构造。
• 识别 $ ex(n,H,kF) $ 显著快于 $ ex(n,H,F) $ 的情形，挑战经典Turán理论的直觉。

提出的方法

• 使用构造 $ K_{k-1} + G $，其中 $ G $ 是 $ F $-自由图，生成具有大量 $ H $ 副本的 $ kF $-自由图，利用 $ k-1 $ 个通用顶点阻止 $ k $ 个不相交的 $ F $ 副本。
• 应用极值图论技术，特别是使用Turán图 $ T_r(n) $，以界定 $ F $-自由图中 $ H $-副本的数量。
• 对 $ lK_3 $ 使用“好副本”计数方法，其中每个三角形在副本中至多使用 $ r \triangleq k-1 $ 个固定三角形中的一个顶点。
• 使用双重计数和边共享论证，界定包含来自固定三角形 $ A_i $ 的顶点的“好”三角形数量，表明每个三角形为 $ O(n) $。
• 将 $ lK_3 $ 的计数问题简化为在三角形自由图 $ G_R $ 中计数 $ lK_2 $，利用 Erdős 的结果 $ ex(n,lK_2,K_3) = (1+o(1)) \frac{1}{l!} \binom{n^2}{4} $。
• 应用概率和极值计数框架，推导 $ ex(n,K_3,kF) $ 的渐近表达式，特别是当 $ F = C_5 $ 时，通过结合通用顶点贡献和独立边对配对。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ n $ 增大时，$ ex(n,K_3,kC_5) $ 的渐近增长如何，与 $ ex(n,K_3,C_5) $ 相比如何？
• RQ2 哪些 $ kF $-自由图的结构特性能最大化 $ H $-副本数，特别是当 $ H = K_3 $ 且 $ F $ 是环或完全图时？
• RQ3 是否 $ ex(n,H,kF) $ 的数量级可显著大于 $ ex(n,H,F) $，如果是，在何种条件下？
• RQ4 当 $ F $ 是完全图 $ K_r $ 或完全二部图 $ K_{s,t} $ 时，$ ex(n,K_3,kF) $ 的渐近行为如何？
• RQ5 通用顶点和极值图分解方法在多大程度上可推广到其他图 $ H $ 和 $ F $ ？

主要发现

• 当 $ F = C_5 $ 时，$ ex(n,K_3,kC_5) = (1+o(1))\binom{k-1}{3} \frac{n^6}{64} $，与 $ ex(n,K_3,C_5) = \theta(n^{3/2}) $ 相比，其增长速率出现多项式跃升。
• 在 $ kC_5 $-自由图中，$ lK_3 $ 的“好”副本数最多为 $ (1+o(1))\binom{k-1}{l} \frac{n^{2l}}{4^l} $，通过在三角形自由图中计数 $ lK_2 $ 并与 $ k-1 $ 个固定三角形中的 $ l $ 个顶点配对推导得出。
• 使用通用顶点的三角形贡献被限制在每个固定三角形为 $ O(n) $，确保此类配置不会在计数中主导低阶项。
• 构造 $ K_{k-1} + T_2(n-k+1) $，其中 $ T_2(n-k+1) $ 是完全二部Turán图，在 $ F = C_5 $ 时实现 $ \theta(n^6) $ 个三角形，证明了上界的紧致性。
• 对于 $ F = C_{2l+1} $ 或 $ C_{2l} $，有 $ ex(n,K_r,C_k) = O(n^{1+1/l}) $，将已知的Berge超图结果推广到广义Turán设定。
• 本文表明 $ ex(n,H,kF) $ 可以远快于 $ ex(n,H,F) $，如当 $ H = K_3 $、$ F = C_5 $ 且 $ k=2 $ 时，$ \theta(n^6) $ 与 $ \theta(n^{3/2}) $ 的对比，揭示了与经典Turán数的根本差异。