[论文解读] Generalized Tur\'an problems for even cycles

Dániel Gerbner, Ervin Győri+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 32被引用 12

一句话总结

本文研究了偶环的广义Turán问题，确定了在避免某些偶环的图中，$C_{2l}$ 的最大复制数量。研究建立了紧致的渐近界，表明 $ex(n,C_{2l},C_{2k}) = ｈeta(n^l)$，并证明了当禁止更多环时的精确阈值，包括在多禁止一个环时环计数出现指数级下降。

ABSTRACT

Given a graph $H$ and a set of graphs $\\mathcal F$, let $ex(n,H,\\mathcal F)$ denote the maximum possible number of copies of $H$ in an $\\mathcal F$-free graph on $n$ vertices. We investigate the function $ex(n,H,\\mathcal F)$, when $H$ and members of $\\mathcal F$ are cycles. Let $C_k$ denote the cycle of length $k$ and let $\\mathscr C_k=\\{C_3,C_4,\\ldots,C_k\\}$. Some of our main results are the following. (i) We show that $ex(n, C_{2l}, C_{2k}) = \\Theta(n^l)$ for any $l, k \\ge 2$. Moreover, we determine it asymptotically in the following cases: We show that $ex(n,C_4,C_{2k}) = (1+o(1)) \\frac{(k-1)(k-2)}{4} n^2$ and that the maximum possible number of $C_6$'s in a $C_8$-free bipartite graph is $n^3 + O(n^{5/2})$. (ii) Solymosi and Wong proved that if Erd\\H{o}s's Girth Conjecture holds, then for any $l \\ge 3$ we have $ex(n,C_{2l},\\mathscr C_{2l-1})=\\Theta(n^{2l/(l-1)})$. We prove that forbidding any other even cycle decreases the number of $C_{2l}$'s significantly: For any $k > l$, we have $ex(n,C_{2l},\\mathscr C_{2l-1} \\cup \\{C_{2k}\\})=\\Theta(n^2).$ More generally, we show that for any $k > l$ and $m \\ge 2$ such that $2k \ eq ml$, we have $ex(n,C_{ml},\\mathscr C_{2l-1} \\cup \\{C_{2k}\\})=\\Theta(n^m).$ (iii) We prove $ex(n,C_{2l+1},\\mathscr C_{2l})=\\Theta(n^{2+1/l}),$ provided a strong version of Erd\\H{o}s's Girth Conjecture holds (which is known to be true when $l = 2, 3, 5$). Moreover, forbidding one more cycle decreases the number of $C_{2l+1}$'s significantly: More precisely, we have $ex(n, C_{2l+1}, \\mathscr C_{2l} \\cup \\{C_{2k}\\}) = O(n^{2-\\frac{1}{l+1}}),$ and $ex(n, C_{2l+1}, \\mathscr C_{2l} \\cup \\{C_{2k+1}\\}) = O(n^2)$ for $l > k \\ge 2$. (iv) We also study the maximum number of paths of given length in a $C_k$-free graph, and prove asymptotically sharp bounds in some cases.

研究动机与目标

• 确定在避免一组禁止偶环（特别是 $C_{2k}$）的图中，给定偶环 $C_{2l}$ 的最大复制数量。
• 在Erdős的围长猜想下，研究已知界限的紧致性，特别是针对奇环的情况。
• 分析禁止额外环对 $C_{2l}$ 或 $C_{2l+1}$ 复制数的极值数的影响。
• 将广义Turán函数 $ex(n,H,F)$ 扩展至环，并在若干关键情形下提供渐近紧致界。
• 探讨 $ex(n,C_l,C_A)$ 在各种环集 $A$ 下的行为，特别是当 $l$ 为奇数或指数为非整数时。

提出的方法

• 使用极值图论技术，包括Bondy–Simonovits定理以及关于围长和环分布的定理。
• 应用相对于环的“友好”和“不友好”边的概念，以控制环的多重性，并通过环长度扩展导出矛盾。
• 通过θ图和路径扩展构造图，以获得 $C_l$ 复制数的下界。
• 利用Erdős围长猜想及其已知情形（$l=2,3,5$）推导奇环的渐近界。
• 使用双重计数和顶点不相交环的论证方法，界定 $C_5$ 在 $C_3,C_4,C_6$-自由图中的数量。
• 分析极值图的结构，表明禁止一个额外环会显著减少给定环的复制数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于偶环 $C_{2l}$ 和 $C_{2k}$，$ex(n,C_{2l},C_{2k})$ 的渐近增长如何？
• RQ2 当额外禁止一个偶环 $C_{2k}$（其中 $k>l$）时，$C_{2l}$ 的复制数如何变化？
• RQ3 在 $C_8$-自由的二分图中，$C_6$ 的最大数量是多少？
• RQ4 在更强版本的Erdős围长猜想下，当所有长度不超过 $2l$ 的环被禁止时，$C_{2l+1}$ 的数量如何变化？
• RQ5 当多禁止一个环时，$ex(n,C_{2l+1},{C}_{2l} igcup igackepsilon_{2k}igig)$ 或 $ex(n,C_{2l+1},{C}_{2l} igcup igackepsilon_{2k+1}igig)$ 的行为如何？

主要发现

• 对于任意 $l,k \to 2$，有 $ex(n,C_{2l},C_{2k}) = \theta(n^l)$，且 $ex(n,C_4,C_{2k}) = (1+o(1))\frac{(k-1)(k-2)}{4}n^2$。
• 在 $C_8$-自由的二分图中，$C_6$ 的最大数量为 $n^3 + O(n^{5/2})$。
• 对于 $k>l$，有 $ex(n,C_{2l},{\fC}_{2l-1} \bigcup \big\backepsilon_{2k}\big\big) = \theta(n^2)$，表明当多禁止一个偶环时，环计数出现显著下降。
• 对于 $m \to 2$ 且 $2k \neq ml$，有 $ex(n,C_{ml},{\fC}_{2l-1} \bigcup \big\backepsilon_{2k}\big\big) = \theta(n^m)$，推广了前述结果。
• 在更强版本的Erdős围长猜想下，有 $ex(n,C_{2l+1},{\fC}_{2l}) = \theta(n^{2+1/l})$。
• 对于 $l>k\to 2$，有 $ex(n,C_{2l+1},{\fC}_{2l} \bigcup \big\backepsilon_{2k}\big\big) = O(n^{2-1/(l+1)})$ 且 $ex(n,C_{2l+1},{\fC}_{2l} \bigcup \big\backepsilon_{2k+1}\big\big) = O(n^2)$，表明极值计数出现显著下降。