[论文解读] Generalized Witten Genus and Vanishing Theorems

Qingtao Chen, Fengling Han+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文为自旋$^c$流形引入了一种广义的Witten亏格，其取值于在自旋$^c$流形上具有整系数傅里叶展开的1级模形式。该文在特定流形类（包括复射影空间乘积中的广义完全交）上，建立了广义Witten亏格及其模2类比的Landweber-Stong型零化定理。

ABSTRACT

We construct a generalized Witten genus for spin$^c$ manifolds, which takes values in level 1 modular forms with integral Fourier expansion on a class of spin$^c$ manifolds called string$^c$ manifolds. We also construct a mod 2 analogue of the Witten genus for $8k+2$ dimensional spin manifolds. The Landweber-Stong type vanishing theorems are proven for the generalized Witten genus and the mod 2 Witten genus on string$^c$ and string (generalized) complete intersections in (product of) complex projective spaces respectively.

研究动机与目标

• 通过具有整系数傅里叶展开的模形式，将Witten亏格扩展至自旋$^c$流形。
• 为8k+2维自旋流形定义Witten亏格的模2类比。
• 为自旋$^c$流形上的广义Witten亏格建立Landweber-Stong型零化定理。
• 在复射影空间乘积中的广义完全交上，证明模2 Witten亏格的零化定理。
• 在模形式与自旋几何的背景下，统一并推广现有的零化结果。

提出的方法

• 利用等变椭圆上同调与1级模形式，构造广义Witten亏格。
• 将自旋$^c$流形定义为一类自然的自旋$^c$流形，使得广义亏格取值于具有整系数傅里叶展开的模形式。
• 应用Landweber精确函子定理，推导广义Witten亏格的零化定理。
• 通过在8k+2维自旋流形上对椭圆亏格取模2，引入Witten亏格的模2版本。
• 利用 bordism 理论技巧与示性类，分析亏格在完全交上的零化行为。
• 利用复射影空间乘积的结构，研究广义完全交及其亏格不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 Witten亏格能否被扩展至取值于具有整系数傅里叶展开的模形式的自旋$^c$流形？
• RQ2 自旋$^c$流形需满足何种条件，才能使广义Witten亏格取值于1级模形式？
• RQ3 8k+2维自旋流形是否存在Witten亏格的模2类比？其性质为何？
• RQ4 在何种拓扑条件下，广义Witten亏格在自旋$^c$流形上为零？
• RQ5 在复射影空间乘积中的广义完全交上，广义Witten亏格是否具有类似Landweber-Stong的零化定理？

主要发现

• 为自旋$^c$流形构造了广义Witten亏格，其取值于具有整系数傅里叶展开的1级模形式。
• 为8k+2维自旋流形定义了Witten亏格的模2类比，将经典亏格推广至特征2情形。
• 在自旋$^c$流形上，证明了广义Witten亏格的Landweber-Stong型零化定理。
• 在复射影空间乘积中的广义完全交上，建立了模2 Witten亏格的零化定理。
• 结果推广了椭圆上同调中的经典零化定理，并为某些几何结构的存在性提供了新的障碍。
• 该框架统一并扩展了通过模形式与 bordism 理论研究亏格零化的先前结果。