[论文解读] Generalizing and Derandomizing Gurvits's Approximation Algorithm for the Permanent

Scott Aaronson, Travis Hance|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用 4

一句话总结

该论文将Gurvits针对$ n \times n $矩阵近似计算永久值的随机算法推广并去随机化，使其在$ O(n^2 / \varepsilon^2) $时间内实现$ \pm \varepsilon \|A\|^n $的加法误差近似。通过类比玻色子产生算符，改进了具有重复行或列的矩阵的近似精度，并引入复$ \varepsilon $-偏差集以对非负矩阵的算法进行去随机化，实现了使用$ O(\log n + \log 1/\varepsilon) $随机性的多项式时间确定性近似。

ABSTRACT

Around 2002, Leonid Gurvits gave a striking randomized algorithm to approximate the permanent of an n*n matrix A. The algorithm runs in O(n^2/eps^2) time, and approximates Per(A) to within eps*||A||^n additive error. A major advantage of Gurvits's algorithm is that it works for arbitrary matrices, not just for nonnegative matrices. This makes it highly relevant to quantum optics, where the permanents of bounded-norm complex matrices play a central role. Indeed, the existence of Gurvits's algorithm is why, in their recent work on the hardness of quantum optics, Aaronson and Arkhipov (AA) had to talk about sampling problems rather than estimation problems. In this paper, we improve Gurvits's algorithm in two ways. First, using an idea from quantum optics, we generalize the algorithm so that it yields a better approximation when the matrix A has either repeated rows or repeated columns. Translating back to quantum optics, this lets us classically estimate the probability of any outcome of an AA-type experiment---even an outcome involving multiple photons "bunched" in the same mode---at least as well as that probability can be estimated by the experiment itself. (This does not, of course, let us solve the AA sampling problem.) It also yields a general upper bound on the probabilities of "bunched" outcomes, which resolves a conjecture of Gurvits and might be of independent physical interest. Second, we use eps-biased sets to derandomize Gurvits's algorithm, in the special case where the matrix A is nonnegative. More interestingly, we generalize the notion of eps-biased sets to the complex numbers, construct "complex eps-biased sets," then use those sets to derandomize even our generalization of Gurvits's algorithm to the multirow/multicolumn case (again for nonnegative A). Whether Gurvits's algorithm can be derandomized for general A remains an outstanding problem.

研究动机与目标

• 改进Gurvits针对任意复矩阵永久值近似计算的随机算法，特别是在具有重复行或列的情况下。
• 将算法推广以处理由较小矩阵$ B $的列重复构成的矩阵，从而获得更紧的加法误差界。
• 使用$ \varepsilon $-偏差集对Gurvits算法在非负矩阵上的随机化进行去随机化，并将此方法推广至复$ \varepsilon $-偏差集以支持广义情形。
• 为涉及光子聚集的量子光学实验提供一种经典模拟工具，特别是在Aaronson-Arkhipov采样问题的背景下。
• 解决关于线性光学网络中光子聚集结果概率上界的一个猜想。

提出的方法

• 通过将形式变量视为玻色子产生算符来推广Gurvits的算法，用$ \sqrt{s_i} x_i $替代$ x_i $以建模重复列。
• 推导出$ |\operatorname{Per}(A)| $的新上界：对于具有$ s_i $个$ B $的列副本的矩阵$ A $，其上界为$ \frac{s_1! \cdots s_k!}{\sqrt{s_1^{s_1} \cdots s_k^{s_k}}} \|B\|^n $，从而在重复结构下改进了误差界。
• 引入复$ \varepsilon $-偏差集的概念，将实$ \varepsilon $-偏差集推广至复单位圆，以支持去随机化。
• 利用复$ \varepsilon $-偏差集进行确定性放大，确保单位根乘积的期望值的模至多为$ \varepsilon/2 $，从而实现误差控制。
• 将广义算法应用于估计线性光学网络中的跃迁振幅，特别是同一模式中存在多个光子的结果。
• 采用混合随机化与确定性构造的方法：$ \ell = O(\log n + \log 1/\varepsilon) $个复单位根被确定性选择，$ d_j \in \{0,1\} $则以均匀分布随机选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gurvits的算法能否在具有重复行或列的矩阵上得到改进，特别是在量子光学中此类结构用于建模光子聚集的情形？
• RQ2 能否使用$ \varepsilon $-偏差集对非负矩阵的永久值随机近似进行去随机化？
• RQ3 能否将$ \varepsilon $-偏差集的概念推广至复单位圆，以支持广义算法的去随机化？
• RQ4 是否存在对永久值非可忽略大的酉矩阵或部分酉矩阵的结构表征，从而支持确定性估计？
• RQ5 能否在多项式时间内将估计线性光学振幅的加法误差界改进为$ \pm 1/\operatorname{poly}(n) $？

主要发现

• 广义算法在$ O(nk / \varepsilon^2) $时间内将$ \operatorname{Per}(A) $的近似误差控制在$ \pm \varepsilon \cdot \frac{s_1! \cdots s_k!}{\sqrt{s_1^{s_1} \cdots s_k^{s_k}}} \|B\|^n $以内，当$ A $具有重复列时，优于Gurvits原始的误差界。
• 本文证明了新的上界$ |\operatorname{Per}(A)| \leq \frac{s_1! \cdots s_k!}{\sqrt{s_1^{s_1} \cdots s_k^{s_k}}} \|B\|^n $，解决了Gurvits的一个猜想，并为聚集光子结果的概率提供了物理上的上界。
• 作者构造了包含$ O(\log n + \log 1/\varepsilon) $个元素的复$ \varepsilon $-偏差集，使得广义算法可以实现去随机化。
• 对非负矩阵的去随机化算法仅使用$ O(\log n + \log 1/\varepsilon) $个随机位，以高概率实现$ \varepsilon $-误差控制。
• 该方法能够以与量子实验本身相同的加法误差，实现对任意线性光学振幅（包括具有聚集光子的振幅）的经典估计。
• 复$ \varepsilon $-偏差集的构造依赖于一种新颖的放大技术，使用$ \pi/8 $-强根，这与经典$ \varepsilon $-偏差集构造中依赖单个$ -1 $值的方法不同。