[论文解读] Generalizing Bell-type and Leggett-Garg-type Inequalities to Systems with Signaling

Ehtibar N. Dzhafarov, Janne V. Kujala|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 17被引用 17

一句话总结

本文通过引入一种在信号传递条件下仍能定义和测量非定域性的框架，将贝尔型和Leggett-Garg型不等式推广至存在信号传递的系统。该框架利用傅里叶-莫茨金消去法推导出上下文性度量的紧致界，从而在任意系统中（无论是否存在信号传递）实现上下文性的检测，克服了传统不等式在信号传递条件下失效的根本局限。

ABSTRACT

Contextuality means non-existence of a joint distribution for random variables recorded under mutually incompatible conditions, subject to certain constraints imposed on how the identity of these variables may change across these conditions. In simple quantum systems contextuality is indicated by violations of Bell-type or Leggett-Garg-type inequalities. These inequalities, however, are predicated on the assumption of no-signaling, defined as invariance of the distributions of measurement results with respect to other (e.g., earlier in time) measurements' settings. Signaling makes the inequalities inapplicable: a non-signaling system with any degree of contextuality, however high, loses any relation to this concept as soon as it exhibits any degree of signaling, however small. This is unsatisfactory. We describe a principled way of defining and measuring contextuality in arbitrary systems with random outputs, whether signaling is absent or present.

研究动机与目标

• 为解决传统贝尔型与Leggett-Garg型不等式在存在信号传递时失效的问题，即使上下文性程度很高也无法检测上下文性。
• 建立一个系统化的框架，用于在任意系统中（无论是否存在信号传递）定义和测量上下文性。
• 仅基于观测到的边缘分布和联合分布，利用傅里叶-莫茨金消去法推导出在信号传递条件下依然有效的上下文性度量的紧致、可计算的界。
• 通过将无信号传递假设嵌入更广泛的概率框架中，推广标准的无信号传递假设，允许信号传递的同时仍能检测上下文性。
• 提供一种统一的方法，适用于EPR/Bohm（贝尔）和Leggett-Garg（时间）范式，将它们的应用范围从无信号传递区域扩展至包含信号传递的区域。

提出的方法

• 提出一种广义的上下文性框架，基于在相互不相容条件下记录的随机变量之间存在联合分布的假设，即使存在信号传递也成立。
• 引入一个上下文性度量Δ（或LG系统中的Δ′），用于量化上下文性的程度，定义为连接期望值的凸组合的最小值。
• 使用傅里叶-莫茨金消去法（FME）从联合分布约束导出的线性不等式组中系统地消去连接期望变量。
• 通过FME处理后的系统推导出Δ和Δ′的紧致解析界，得到仅涉及观测期望值（如⟨Aij⟩, ⟨AijBij⟩）的不等式。
• 将该方法应用于贝尔系统和LG系统，推导出显式界，如Δ ≤ 5 − ½s₁(⟨A₁₁B₁₁⟩, ⟨A₁₂B₁₂⟩, ⟨A₂₁B₂₁⟩, ⟨A₂₂B₂₂⟩) 和 Δ′ ≤ 7/2 − ½s₁(⟨Q₁₂Q₂₁⟩, ⟨Q₁₃Q₃₁⟩, ⟨Q₂₃Q₃₂⟩)。
• 通过对偶性验证边界：若对给定Δ，所推导的不等式成立，则存在与观测配对兼容且实现该Δ的连接分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在传统贝尔与Leggett-Garg不等式失效的信号传递系统中，上下文性能否被有意义地定义和测量？
• RQ2 在仅已知观测边缘分布和联合分布的条件下，信号传递存在时上下文性度量的最紧致界是什么？
• RQ3 如何系统且稳健地利用傅里叶-莫茨金消去法推导出这些界？
• RQ4 该框架能否统一应用于空间类（贝尔）与时间类（Leggett-Garg）上下文性场景？
• RQ5 量子系统中上下文性与信号传递之间的关系是什么？如何在不假设无信号传递的前提下对其进行量化？

主要发现

• 本文推导出贝尔系统中上下文性度量Δ的一组紧致解析界，如Δ ≤ 5 − ½s₁(⟨A₁₁B₁₁⟩, ⟨A₁₂B₁₂⟩, ⟨A₂₁B₂₁⟩, ⟨A₂₂B₂₂⟩)，即使在存在信号传递时也成立。
• 对于Leggett-Garg系统，推导出Δ′ ≤ 7/2 − ½s₁(⟨Q₁₂Q₂₁⟩, ⟨Q₁₃Q₃₁⟩, ⟨Q₂₃Q₃₂⟩) 的界，提供了在信号传递下可量化的上下文性度量。
• 证明了最小上下文性度量Δ_min为两个涉及边缘期望差绝对值与s₁函数的表达式的最大值，从而实现精确的检测阈值。
• 该框架确保：若对给定Δ所推导的不等式成立，则存在一组与观测配对兼容且实现该Δ的连接分布。
• 该方法成功将上下文性检测推广至无信号传递区域之外，使得在具有任意程度信号传递的系统中也能检测到上下文性。
• 使用傅里叶-莫茨金消去法确保所推导的界既必要又充分，从而保证数学完备性与计算可行性。