[论文解读] Generalizing Redundancy in Propositional Logic: Foundations and Hitting Sets Duality

Anton Belov, João Marques‐Silva|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2012

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文提出了一种广义框架，用于在命题逻辑中通过带标签的CNF公式实现冗余检测，统一了基于子句、变量和组的冗余检测。通过击中集对偶性，建立了最小不可满足子公式（LMNS）与最大可满足子公式（LMES）之间的对偶关系，将已知结果扩展至可满足公式及多种抽象层次。

ABSTRACT

Detection and elimination of redundant clauses from propositional formulas in Conjunctive Normal Form (CNF) is a fundamental problem with numerous application domains, including AI, and has been the subject of extensive research. Moreover, a number of recent applications motivated various extensions of this problem. For example, unsatisfiable formulas partitioned into disjoint subsets of clauses (so-called groups) often need to be simplified by removing redundant groups, or may contain redundant variables, rather than clauses. In this report we present a generalized theoretical framework of labelled CNF formulas that unifies various extensions of the redundancy detection and removal problem and allows to derive a number of results that subsume and extend previous work. The follow-up reports contain a number of additional theoretical results and algorithms for various computational problems in the context of the proposed framework.

研究动机与目标

• 将CNF公式中冗余检测的统一与广义化从单个子句扩展至变量和子句组。
• 将已知的最小不可满足子公式（MUS）与最大可满足子公式（MSS）之间的击中集对偶性扩展至带标签的CNF公式。
• 为在不同抽象层次（子句、变量、组）下，对可满足与不可满足公式中的冗余消除提供理论基础。
• 通过统一的形式化方法，使现有MUS与MSS提取算法能够适应并扩展至新的问题领域。
• 支持在广义冗余标准下，不可冗余子公式的枚举与计算，以及最小不可满足子公式的计算。

提出的方法

• 引入带标签CNF公式（LCNF）的概念，其中子句与表示变量、子句组或任意集合的标签相关联。
• 定义基于标签的最小不可满足子公式（LMNS）与最大可满足子公式（LMES），广义化标准的基于子句的定义。
• 证明在带标签设置下，LMES与co-LMNS（LMNS的补集）之间的击中集对偶性成立，扩展了经典结果。
• 通过一个对偶定理（定理3.1）建立形式化证明结构，证明LMES的不可约击中集对应于co-LMNS，反之亦然。
• 将该框架应用于不可满足与可满足公式，表明在温和条件下，该对偶性普遍成立。
• 利用该框架将MUS提取与冗余消除算法广义化至变量级与组级抽象。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将CNF公式中的冗余检测广义化，以超越单个子句，涵盖变量和子句组？
• RQ2 在广义冗余定义下，经典MUS与MSS之间的击中集对偶性是否可扩展至带标签的CNF公式？
• RQ3 在基于标签的抽象下，可满足公式中LMES与co-LMNS之间的对偶性是否得以保持？
• RQ4 在广义带标签框架中，确保击中集对偶性成立的条件是什么？
• RQ5 如何将现有MUS与MSS提取算法适配，以在表示变量或子句组的标签上运行？

主要发现

• 在公式至少包含一个不可冗余标签的条件下，带标签CNF公式中LMES与co-LMNS之间的击中集对偶性成立。
• 对于任意带标签CNF公式Φ，所有LMES的并集等于所有标签的集合减去所有LMNS的交集，如推论1所形式化。
• LMES(Φ)的每个不可约击中集对应于Φ的一个co-LMNS，且co-LMNS(Φ)的每个不可约击中集对应于Φ的一个LMES。
• 该框架将经典MUS与MSS结果广义化至可满足公式，表明该对偶性不仅限于不可满足情形。
• 该框架支持基于标签的LMES与LMNS的枚举，支持在变量级或组级进行冗余消除与MUS提取。
• 理论结果使得现有MUS提取算法可被适配至新问题领域，如组-MUS与变量-MUS。