[论文解读] Generalizing the Kawaguchi-Kyan bound to stochastic parallel machine scheduling

Sven Jäger, Martin Skutella|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2018

Scheduling and Optimization Algorithms被引用 2

一句话总结

该论文改进了随机并行机调度中加权最短期望处理时间（WSEPT）规则的性能保证，其中作业处理时间是随机变量。论文建立了更紧的近似比 $1 + \frac{1}{2}(\sqrt{2} - 1)(1 + \Delta)$，该结果将经典的Kawaguchi-Kyan界推广至随机设置，并在 $\Delta \to 0$ 时与确定性WSPT比一致。该结果通过精细化的最坏情况实例分析及对有限 $m$ 下性能比的精确刻画得出。

ABSTRACT

Minimizing the sum of weighted completion times on $m$ identical parallel machines is one of the most important and classical scheduling problems. For the stochastic variant where processing times of jobs are random variables, M\"ohring, Schulz, and Uetz (1999) presented the first and still best known approximation result achieving, for arbitrarily many machines, performance ratio $1+\frac12(1+\Delta)$, where $\Delta$ is an upper bound on the squared coefficient of variation of the processing times. We prove performance ratio $1+\frac12(\sqrt{2}-1)(1+\Delta)$ for the same underlying algorithm---the Weighted Shortest Expected Processing Time (WSEPT) rule. For the special case of deterministic scheduling (i.e., $\Delta=0$), our bound matches the tight performance ratio $\frac12(1+\sqrt{2})$ of this algorithm (WSPT rule), derived by Kawaguchi and Kyan in a 1986 landmark paper. We present several further improvements for WSEPT's performance ratio, one of them relying on a carefully refined analysis of WSPT yielding, for every fixed number of machines $m$, WSPT's exact performance ratio of order $\frac12(1+\sqrt{2})-O(1/m^2)$.

研究动机与目标

• 解决随机并行机调度中带加权完成时间的常数因子近似算法缺失的问题。
• 改进WSEPT规则在随机设置下的最优已知性能比，此前该比值为 $1 + \frac{1}{2}(1 + \Delta)$。
• 将确定性情况下的Kawaguchi-Kyan界推广至处理时间为具有有界平方变异系数 $\Delta$ 的随机变量的随机情形。
• 为WSEPT提供一个更紧的、与机器数相关的性能比，该比值在 $m \to \infty$ 时收敛至最优确定性界。
• 通过分析一类精细化的实例参数，确定有限 $m$ 下的精确最坏情况性能比。

提出的方法

• 提出一种新的最坏情况实例构造，包含 $k_m$ 个长作业和一个短作业，其中 $k_m = \left\lfloor \left(1 - \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)m \right\rfloor$。
• 将性能比 $\lambda_m(x, k)$ 分析为作业处理时间 $x$、长作业数 $k$ 和机器数 $m$ 的函数，并对 $x$ 和 $k$ 进行优化。
• 推导出单变量函数 $\lambda''_m(k) = 1 + \frac{\sqrt{(2m - k)k - k}}{2m}$，以确定每个 $m$ 下的最坏情况 $k$。
• 证明最优 $k_m$ 落在区间 $[u_m - 1/2, u_m + 1/2]$ 内，其中 $u_m = m - \frac{\sqrt{2m^2 - 1}}{2}$，从而保证函数的严格凹性与唯一性。
• 通过 $m \to \infty$ 的极限论证，无需复杂情形划分即可恢复经典Kawaguchi-Kyan界 $\frac{1}{2}(1 + \sqrt{2})$。
• 为有限 $m$ 建立闭式性能比 $1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{(2m - k_m)k_m - k_m}}{m}(1 + \Delta)$，优于先前的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意 $m$ 和有界平方变异系数 $\Delta$ 的随机并行机调度中，WSEPT规则可达到的最紧性能比是多少？
• RQ2 随着机器数 $m$ 增加，WSEPT的性能比如何变化？是否收敛至确定性WSPT界？
• RQ3 能否将确定性调度中经典的Kawaguchi-Kyan界推广至处理时间为随机变量的随机设置？
• RQ4 对于固定且有限的机器数 $m$，WSEPT的精确最坏情况性能比是多少？
• RQ5 当 $m$ 固定时，$\Delta$ 允许增长，是否存在与 $\Delta$ 无关的常数性能比？

主要发现

• WSEPT规则实现了 $1 + \frac{1}{2}(\sqrt{2} - 1)(1 + \Delta)$ 的性能比，该值严格优于先前的 $1 + \frac{1}{2}(1 + \Delta)$。
• 在确定性调度的特殊情形（$\Delta = 0$）下，新界退化为 $\frac{1}{2}(1 + \sqrt{2})$，与Kawaguchi和Kyan（1986）给出的紧确定性WSPT比一致。
• 当 $m \to \infty$ 时，性能比以 $O(1/m^2)$ 的速率收敛至最优确定性界 $\frac{1}{2}(1 + \sqrt{2})$。
• 对于任意固定的 $m$，WSEPT的精确最坏情况性能比为 $1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{(2m - k_m)k_m - k_m}}{m}(1 + \Delta)$，其中 $k_m = \left\lfloor \left(1 - \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)m \right\rfloor$。
• 本文证明性能比在 $k_m$ 处取得最小值，且该值位于区间 $[u_m - 1/2, u_m + 1/2]$ 内，从而确保所推导边界的最优性。