[论文解读] Generating All Maximal Induced Subgraphs for Hereditary, Connected-Hereditary and Rooted-Hereditary Properties

Sara Cohen, Yehoshua Sagiv|ArXiv.org|Oct 17, 2004

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种通用框架，用于在给定图中高效生成所有具有继承性、连通继承性或根继承性性质的最大诱导子图。通过将一般问题简化为受限子问题（如固定根或顶点约束的问题），该框架能够利用增量多项式时间、总多项式时间或 P-可枚举复杂度，实现高效求解，显著简化了对团、独立集和二分图等性质的算法设计。

ABSTRACT

The problem of computing all maximal induced subgraphs of a graph G that have a graph property P, also called the maximal P-subgraphs problem, is considered. This problem is studied for hereditary, connected-hereditary and rooted-hereditary graph properties. The maximal P-subgraphs problem is reduced to restricted versions of this problem by providing algorithms that solve the general problem, assuming that an algorithm for a restricted version is given. The complexity of the algorithms are analyzed in terms of total polynomial time, incremental polynomial time and the complexity class P-enumerable. The general results presented allow simple proofs that the maximal P-subgraphs problem can be solved efficiently (in terms of the input and output) for many different properties.

研究动机与目标

• 解决在大规模图中生成所有具有给定图性质 P 的最大诱导子图的计算挑战。
• 将一般性的最大 P-子图问题简化为更简单、受限的版本，以便于算法求解。
• 建立一般问题在总多项式时间、增量多项式时间（PINC）或 P-可枚举复杂度类中可解的条件。
• 提供一个统一框架，适用于团、独立集和二分图等知名图性质。
• 在数据库中实现实际应用，特别是针对不完整信息语义下的最大查询答案计算。

提出的方法

• 将一般性的最大 P-子图问题简化为输入受限或顶点受限的变体，例如计算包含固定顶点或根的最大 P-子图。
• 使用递归算法 GenWithVertex⟨P⟩，通过逐步添加顶点并保持性质 P，增量式构建最大诱导子图。
• 通过仔细安排顶点处理顺序，将算法 GenHered⟨P⟩ 适配用于处理根继承性和连通继承性性质，以确保逐步输出。
• 利用受限问题若可在多项式时间内求解，则一般问题可继承 PINC 或 P-可枚举状态的复杂度保证。
• 引入基于栈的机制（Stack2），在递归过程中追踪并输出新的最大子图，从而实现增量式输出生成。
• 将该框架应用于推导特定性质的复杂度结果，例如通过将其简化为更简单的受限情形，分析二分图和星形图的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可高效求解生成所有具有继承性性质 P 的最大诱导子图的一般问题？
• RQ2 如何将最大 P-子图问题简化为更简单、受限的子问题，使其更易求解？
• RQ3 受限版本问题可继承哪些复杂度保证（如总多项式时间、增量多项式时间、P-可枚举）？
• RQ4 该框架能否应用于实际问题，如在不完整信息语义下的数据库查询回答？
• RQ5 对于哪些图性质类别——继承性、连通继承性或根继承性——最大 P-子图问题可保证处于 PINC 或 P-可枚举类中？

主要发现

• 当输入图是无环图时，根继承性性质的最大 P-子图问题为 P-可枚举；当底层无向图是树时，连通继承性性质的最大 P-子图问题为 P-可枚举。
• 若输入受限版本的问题可在多项式时间内求解，则最大 P-子图问题可实现增量多项式时间（PINC）求解。
• 最大“二分图”-子图问题可在总多项式时间内求解，优于先前结果。
• 该框架可高效计算独立集、星形图和团等性质的最大子图，方法是将其简化为更简单的受限子问题。
• 在相同复杂度假设下，该方法可对任意常数 k 在多项式时间内返回前 k 个最大诱导子图。
• 该结果可扩展至数据库应用，表明不完整数据中的全析取语义可建模为根继承性性质，并可高效计算。