[论文解读] Generating Functionals for Spin Foam Amplitudes

Jeff Hnybida|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2014

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 69被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于量子引力中自旋泡沫振幅的生成泛函，采用了一种基于全纯旋量不变量的新型离散-相干基，该基由 SU(2) 惰性张量构成。该方法实现了对四单纯形振幅中 20j 符号的精确计算，其渐近极限将 Regge 作用量推广至扭曲几何，且建立了自旋网络环路与二维伊辛模型高温展开之间的直接联系。

ABSTRACT

We construct a generating functional for the exact evalutation of a coherent representation of spin network amplitudes. This generating functional is defined for arbitrary graphs and depends only on a pair of spinors for each edge. The generating functional is a meromorphic polynomial in the spinor invariants which is determined by the cycle structure of the graph. The expansion of the spin network generating function is given in terms of a newly recognized basis of SU(2) intertwiners consisting of the monomials of the holomorphic spinor invariants. This basis is labelled by the degrees of the monomials and is thus discrete. It is also overcomplete, but contains the precise amount of data to specify points in the classical space of closed polyhedra, and is in this sense coherent. We call this new basis the discrete-coherent basis. We focus our study on the 4-valent basis, which is the first non-trivial dimension, and is also the case of interest for Quantum Gravity. We find simple relations between the new basis, the orthonormal basis, and the coherent basis. Finally we discuss the process of coarse graining moves at the level of the generating functionals and give a general prescription for arbitrary graphs. A direct relation between the polynomial of cycles in the spin network generating functional and the high temperature loop expansion of the 2d Ising model is found.

研究动机与目标

• 构建一个用于精确计算量子引力中自旋网络振幅的生成泛函。
• 定义一种基于全纯旋量不变量单项式的 SU(2) 惰性张量新基——称为离散-相干基。
• 将新基与正交基和相干基联系起来，尤其关注量子引力中相关的四价情形。
• 推导 20j 符号的渐近行为，并展示其与扭曲几何及推广的 Regge 作用量的联系。
• 建立自旋网络环路结构与二维伊辛模型高温环路展开之间的对应关系。

提出的方法

• 定义一个仅依赖于每条边旋量对的生成泛函，其表达为由图的环路结构决定的旋量不变量的亚纯多项式。
• 将离散-相干基构造为全纯旋量不变量的单项式集合，以次数为标签，该基为过度完备但编码了经典多面体几何。
• 以四价情形为主要关注点，其中 20j 符号源于 20 个旋量的收缩，代表相干四单纯形振幅。
• 推导离散-相干基、正交基（通过 15j 符号）和相干基之间的关系，表明在 20j 符号中对五个自旋求和可得到 15j 符号。
• 应用渐近计算技术于 20j 符号，表明其收敛至扭曲几何中的广义 Regge 作用量，其中粘合面上的单纯形具有不同形状。
• 在生成泛函的环不变量多项式结构与二维伊辛模型的高温环路展开之间建立直接数学对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个仅使用每条边旋量数据即可精确计算自旋网络振幅的生成泛函？
• RQ2 新离散-相干基的几何与代数结构是什么？它与正交基和相干基有何关系？
• RQ3 20j 符号的渐近行为如何？它是否在扭曲几何中给出广义的 Regge 作用量？
• RQ4 生成泛函中图的环路结构与统计力学模型（如二维伊辛模型）之间有何关系？
• RQ5 是否可以系统地在任意图的生成泛函层面上定义粗粒化变换？

主要发现

• 该生成泛函是旋量不变量的亚纯多项式，完全由图的环路结构决定，可精确计算相干四单纯形振幅。
• 20j 符号（在离散-相干基中表示四单纯形振幅）依赖于 20 个自旋，是精确的相干振幅；对其中五个自旋求和可得到正交基的 15j 符号。
• 20j 符号的渐近极限将 Regge 作用量推广至扭曲几何，其中粘合面上的单纯形在不同参考系中形状不匹配，与简洁性约束一致。
• 离散-相干基为过度完备，但包含足够信息以确定经典闭合多面体，其标签为离散单项式次数。
• 在生成泛函的环多项式结构与二维伊辛模型的高温环路展开之间发现了直接的数学对应关系。
• 本文为任意图提供了通用的粗粒化方案，明确在生成泛函层面上定义了融合变换。