[论文解读] Generating functions for Wilf equivalence under generalized factor order

Thomas Langley, Jeffrey Liese+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2010

semigroups and automata theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文为正整数字母表上广义因子序下的 Wilf 等价性推导出显式生成函数，重点关注可分解为非减序列后接非增序列的词 $ u $ 的生成函数 $ S(u;t,x) $。文中给出了 $ S(u;t,x) $ 的公式，利用该公式对所有长度为 3 的词进行 Wilf 等价性分类，并证明其系数对应于已知的组合序列。主要贡献在于通过生成函数对 Wilf 等价性进行了结构化刻画，并通过计算验证了小规模情形下的重排猜想。

ABSTRACT

Kitaev, Liese, Remmel, and Sagan recently defined generalized factor order on words comprised of letters from a partially ordered set $(P, \leq_P)$ by setting $u \leq_P w$ if there is a subword $v$ of $w$ of the same length as $u$ such that the $i$-th character of $v$ is greater than or equal to the $i$-th character of $u$ for all $i$. This subword $v$ is called an embedding of $u$ into $w$. For the case where $P$ is the positive integers with the usual ordering, they defined the weight of a word $w = w_1\ldots w_n$ to be $ ext{wt}(w) = x^{\sum_{i=1}^n w_i} t^{n}$, and the corresponding weight generating function $F(u;t,x) = \sum_{w \geq_P u} ext{wt}(w)$. They then defined two words $u$ and $v$ to be Wilf equivalent, denoted $u \backsim v$, if and only if $F(u;t,x) = F(v;t,x)$. They also defined the related generating function $S(u;t,x) = \sum_{w \in \mathcal{S}(u)} ext{wt}(w)$ where $\mathcal{S}(u)$ is the set of all words $w$ such that the only embedding of $u$ into $w$ is a suffix of $w$, and showed that $u \backsim v$ if and only if $S(u;t,x) = S(v;t,x)$. We continue this study by giving an explicit formula for $S(u;t,x)$ if $u$ factors into a weakly increasing word followed by a weakly decreasing word. We use this formula as an aid to classify Wilf equivalence for all words of length 3. We also show that coefficients of related generating functions are well-known sequences in several special cases. Finally, we discuss a conjecture that if $u \backsim v$ then $u$ and $v$ must be rearrangements, and the stronger conjecture that there also must be a weight-preserving bijection $f: \mathcal{S}(u) ightarrow \mathcal{S}(v)$ such that $f(u)$ is a rearrangement of $u$ for all $u$.

研究动机与目标

• 推导当 $ u $ 为非减词后接非增词时，生成函数 $ S(u;t,x) $ 的显式公式。
• 利用该公式对广义因子序下所有长度为 3 的词进行 Wilf 等价性分类。
• 证明相关生成函数的系数在特定情形下对应于已知的组合序列。
• 研究 Wilf 等价词必须为彼此重排的猜想，以及 $ \mathcal{S}(u) $ 与 $ \mathcal{S}(v) $ 之间存在保权双射的更强猜想。

提出的方法

• 推导当 $ u $ 为非减词与非增词连接时，$ S(u;t,x) $ 的闭式表达式。
• 利用关系式 $ F(u;t,x) = S(u;t,x) \cdot \frac{1-x}{1-x-tx} $ 关联 $ F(u;t,x) $ 与 $ S(u;t,x) $，并利用生成函数的有理性质。
• 应用分解 $ \mathcal{S}(u) = \mathcal{A}(u)\mathcal{W}(u) \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} \mathcal{S}^{(i)}(u) $，以递归方式表达 $ S(u;t,x) $。
• 使用有限字母表 $[m]$ 上的精炼生成函数 $ S(u;x_1,\ldots,x_m) $，对 $ n \leq 5 $ 的情形进行计算以测试重排猜想。
• 证明若 $ u $ 为非减词，则 $ S(u;x_1,\ldots,x_m) $ 满足一个涉及乘积 $ \sum_{j=u_i}^m x_j $ 的有理函数方程。
• 利用自动机构造与保权映射分析嵌入的唯一性与等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ u $ 为非减词后接非增词时，能否推导出 $ S(u;t,x) $ 的显式公式？
• RQ2 在广义因子序下，哪些长度为 3 的词是 Wilf 等价的？
• RQ3 $ S(u;t,x) $ 或相关生成函数的系数是否对应于已知的组合序列？
• RQ4 若 $ u \backsim v $，则 $ u $ 与 $ v $ 是否必须为彼此的重排？
• RQ5 是否存在一个保权双射 $ f: \mathcal{S}(u) \to \mathcal{S}(v) $，使得 $ f(u) $ 是 $ u $ 的重排？

主要发现

• 当 $ u $ 为非减词后接非增词时，推导出 $ S(u;t,x) $ 的显式有理生成函数公式。
• 利用推导出的 $ S(u;t,x) $ 公式，对所有长度为 3 的词完成了 Wilf 等价类的分类。
• 在特殊情形下，$ S(u;t,x) $ 的系数对应于已知的组合序列，例如与组合及格路相关的序列。
• 通过计算 $ S(u;x_1,\ldots,x_5) $，验证了对所有长度 $ n \leq 5 $ 的排列，重排猜想成立。
• 对于非减词 $ u $，利用乘积 $ \sum_{j=u_i}^m x_j $ 的形式，建立了 $ S(u;x_1,\ldots,x_m) $ 的闭式表达式。
• 更强的猜想——即存在一个保权双射 $ f: \mathcal{S}(u) \to \mathcal{S}(v) $，使得 $ f(u) $ 是 $ u $ 的重排——在 $ n \leq 5 $ 的计算中得到支持。