[论文解读] Generating Functions in $\mathbb{R}^{2n}$ and the Hatcher-Waldhausen map

Thomas Kragh|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文为 ℝ²ⁿ 中与紧支集外的零截面一致的精确拉格朗日子流形构造了在无穷远处二次的生成族，确立了此类族的空间 ℳ∞ 是 Hatcher-Waldhausen 映射的同伦纤维。这使得 ℳ∞ 成为空间代数 K-理论的几何模型，并通过 Bökstedt 的有理同伦等价结果证明了稳定拉格朗日高斯映射是同伦平凡的。

ABSTRACT

In this paper we construct a generating function quadratic at infinity for any exact Lagrangian in $\mathbb R^{2n}$ equal to $\mathbb R^n$ outside a compact set. This type of Lagrangian is equivalent to a Lagrangian filling in $D^{2n}$ of the standard Legendrian unknot $S^{n-1}$. Generating functions of the type we construct are related to the space $\mathcal M_\infty$ considered by Eliashberg and Gromov. We also show that $\mathcal M_\infty$ is the homotopy fiber of the so-called Hatcher-Waldhausen map. This further relates the understanding of exact Lagrangians (and Legendrians) to algebraic K-theory of spaces. As a result of this and the result by Bökstedt that the Hatcher-Waldhausen map is a rational homotopy equivalence we prove that the stable Lagrangian Gauss map (relative boundary) of the Lagrangian is homotopy trivial.

研究动机与目标

• 为任意在 ℝ²ⁿ 中与紧支集外的零截面一致的精确拉格朗日子流形构造一个在无穷远处二次的生成族。
• 将此类生成族的空间 ℳ∞ 与 Hatcher-Waldhausen 映射关联起来，并证明其作为该映射的几何模型。
• 利用涉及 ℳ∞ 和 Hatcher-Waldhausen 映射的纤维化序列，推导出对精确拉格朗日子流形的新拓扑限制。
• 通过 Bökstedt 关于 Hatcher-Waldhausen 映射是有理同伦等价的结果，确立此类拉格朗日子流形的稳定拉格朗日高斯映射是同伦平凡的。

提出的方法

• 使用 Chaperon 的断裂测地线方法，从零截面 ℝⁿ ⊂ ℝ²ⁿ 构造一个哈密顿同伦，将其映射到包含给定拉格朗日子流形 L 的拉格朗日子流形 K。
• 利用先前工作中对余切丛的推广，得知 K 允许一个在无穷远处二次的生成族。
• 在 K 上应用剪切-拼接论证，依赖于 Liouville 形式势函数的纤维正则值，以构造 L 的生成族。
• 将 ℳ∞ 定义为 ℝ²ᵏ 上函数空间 ℳk,k 的极限，这些函数在无穷远处等于标准二次型 Q，且仅有一个非退化临界点。
• 通过涉及同伦扩张和管状邻域钻孔的构造，确立 ℳ∞ 是 Hatcher-Waldhausen 映射的同伦纤维。
• 利用 Igusa 关于 cobordism 包含的高连通性定理与 J-同态，将 ℳ∞ 的同伦类型与 F/O 和 BO 关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个在 ℝ²ⁿ 中与紧支集外的零截面一致的精确拉格朗日子流形是否都能配备一个在无穷远处二次的生成族？
• RQ2 此类生成族空间 ℳ∞ 的同伦理论意义是什么？
• RQ3 Hatcher-Waldhausen 映射如何与生成族及精确拉格朗日子流形的几何相关联？
• RQ4 当拉格朗日子流形不与零截面哈密顿同伦等价但边界固定时，会引出哪些拓扑障碍？
• RQ5 此类拉格朗日子流形的稳定拉格朗日高斯映射是否同伦平凡？若是，原因是什么？

主要发现

• 任何在 T*𝐷ⁿ 中与边界附近零截面一致的精确拉格朗日子流形，均允许一个在无穷远处二次的生成族。
• 空间 ℳ∞ 是 Hatcher-Waldhausen 映射的同伦纤维，为该代数 K-理论映射提供了几何模型。
• 根据 Bökstedt 的结果，Hatcher-Waldhausen 映射是有理同伦等价，这意味着复合映射 ℳ∞ → F/O → BO 在同伦群上是有理平凡的。
• 此类拉格朗日子流形相对于其无穷远处的稳定拉格朗日高斯映射是同伦平凡的，因为它通过一个有理平凡的复合映射因子分解。
• 生成族的构造依赖于在剪切-拼接过程中通过纤维正则值控制 Liouville 形式势函数。
• 涉及 ℳ∞ 和 Hatcher-Waldhausen 映射的纤维化序列，允许在边界映射至 ℳ∞ 无法扩张时，对哈密顿同伦至零截面施加新的障碍。