[论文解读] Generating Mapping Class Groups by Involutions

Martin Kassabov|ArXiv.org|Nov 25, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 26

一句话总结

本文证明了，对于亏格 $g \geq 3$ 且带有 $b$ 个穿孔的曲面，其映射类群可由数量均匀有界的对合生成，其中当亏格较大且穿孔数为偶数时，最小生成数为 4。作者通过使用对称对合与lantern关系显式构造了生成集，推广了先前结果，并确立了最复杂情形（亏格 3，奇数穿孔）下 9 个对合的通用上界。

ABSTRACT

Let $Σ_{g,b}$ denote a closed oriented surface genus $g$ with $b$ punctures and let $Mod_{g,b}$ denote its mapping class group. Luo proved that if the genus is at least 3, the group $Mod_{g,b}$ is generated by involutions. He also asked if there exists a universal upper bound, independent of genus and the number of punctures, for the number of torsion elements/involutions needed to generate $Mod_{g,b}$. Brendle and Farb gave a partial answer in the case of closed surfaces and surfaces with one puncture, by describing a generating set consisting of 7 involutions. Our main result generalizes the above result to the case of multiple punctures. We also show that the mapping class group can be generated by smaller number of involutions. More precisely, we prove that the mapping class group can be generated by 4 involutions if the genus $g$ is large enough. There is not a lot room to improve this bound because to generate this group we need at lest 3 involutions. In the case of small genus (but at least 3) to generate the whole mapping class group we need a few more involutions.

研究动机与目标

• 为解决 Luo 关于映射类群生成所需扭元数量是否存在通用上界的公开问题。
• 将 Brendle 与 Farb 对闭曲面及单穿孔曲面的 7 个对合结果推广至多穿孔曲面。
• 最小化生成 ${\rm Mod}_{g,b}$ 所需的对合数量，尤其针对大亏格与不同穿孔数的情形。
• 建立生成所需对合数的精确界限，表明 3 为理论最小值，而 4 在 $g > 7$ 时可实现。
• 探讨 ${\rm Mod}^{0}_{g,b}$（穿孔点固定）由对合生成的条件，特别是当 $b \leq 2(g-2)$ 时。

提出的方法

• 构造一个具有 8 条边界分量的基曲面 $S_4$，并利用对称对合 $I$ 和 $R$ 通过共轭生成德恩旋转变换。
• 通过附加一对裤片扩展曲面以形成 $S_5$，然后将对合 $I$ 扩展至 $S_5$，并在剩余曲面 $S_6$（亏格为 $g-7$）上定义一个新的对合 $\tilde{I}$。
• 将对合 $I$ 与 $\tilde{I}$ 粘合，构成全曲面 $\Sigma_{g,b}$ 上的全局对合 $J$，其在全曲面上表现为对称对合。
• 利用由 $\rho_1$、$\rho_2$、$\rho_3$ 和 $J$ 生成的群，通过群作用下的轨道闭包生成所有关于本质曲线的德恩旋转变换。
• 应用推论 12 表明生成群包含 ${\rm Mod}^0_{g,b}$，并通过该群在商映射 ${\rm Sym}_b$ 下的像，得出其为完整的 ${\rm Mod}_{g,b}$。
• 对于亏格 3 且 $b$ 为奇数的情形，由于对换对合无法延拓，故使用 9 个对合（包括 $\rho_1$、$\rho_2$ 及额外对合）来生成必要的旋转变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个与 $g$ 和 $b$ 无关的、生成 ${\rm Mod}_{g,b}$ 所需对合数的通用上界？
• RQ2 能否将 Brendle 与 Farb 对 $b \leq 1$ 情形下 7 个对合的生成集减少？
• RQ3 对于 $g \geq 3$ 且任意 $b$，生成 ${\rm Mod}_{g,b}$ 所需的最少对合数是多少？
• RQ4 在哪些 $g$ 与 $b$ 值下，子群 ${\rm Mod}^0_{g,b}$（穿孔点固定）可由对合生成？
• RQ5 对于亏格 3 且 $b$ 为奇数的情形，9 个对合的界能否改进，或其是否已为最优？

主要发现

• 当 $g > 7$ 或 $g = 7$ 且 $b$ 为偶数时，映射类群 ${\rm Mod}_{g,b}$ 可由 4 个对合生成。
• 当 $g > 5$ 或 $g = 5$ 且 $b$ 为偶数时，该群可由 5 个对合生成。
• 当 $g > 3$ 或 $g = 3$ 且 $b$ 为偶数时，6 个对合足以生成 ${\rm Mod}_{g,b}$。
• 当 $g = 3$ 且 $b$ 为奇数时，该群需要 9 个对合，此为所建立的最大上界。
• 对于大 $g$，4 个对合的界为最优，因为至少需要 3 个（因两个对合仅能生成二面体群）。
• 该构造可推广至使用反定向对合的扩展映射类群，且保持相同的上界。