[论文解读] Generating Matrix Identities and Proof Complexity

Fu Li, Iddo Tzameret|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文提出了一套用于在有限域上证明矩阵恒等式的算术证明系统层级，建立了针对具有 $n$ 个变量的 $d \times d$ 矩阵恒等式的无条件 $Ω(n^{2d})$ 证明大小下界。该研究利用多项式恒等式理论与非交换代数，构造了强证明系统难以处理的困难实例，为理解证明复杂性下界提供了新途径。

ABSTRACT

Motivated by the fundamental lower bounds questions in proof complexity, we initiate the study of matrix identities as hard instances for strong proof systems. A matrix identity of $d imes d$ matrices over a field $\mathbb{F}$, is a non-commutative polynomial $f(x_1,\ldots,x_n)$ over $\mathbb{F}$ such that $f$ vanishes on every $d imes d$ matrix assignment to its variables. We focus on arithmetic proofs, which are proofs of polynomial identities operating with arithmetic circuits and whose axioms are the polynomial-ring axioms (these proofs serve as an algebraic analogue of the Extended Frege propositional proof system; and over $GF(2)$ they constitute formally a sub-system of Extended Frege [HT12]). We introduce a decreasing in strength hierarchy of proof systems within arithmetic proofs, in which the $d$th level is a sound and complete proof system for proving $d imes d$ matrix identities (over a given field). For each level $d>2$ in the hierarchy, we establish a proof-size lower bound in terms of the number of variables in the matrix identity proved: we show the existence of a family of matrix identities $f_n$ with $n$ variables, such that any proof of $f_n=0$ requires $Ω(n^{2d})$ number of lines. The lower bound argument uses fundamental results from the theory of algebras with polynomial identities together with a generalization of the arguments in [Hru11]. We then set out to study matrix identities as hard instances for (full) arithmetic proofs. We present two conjectures, one about non-commutative arithmetic circuit complexity and the other about proof complexity, under which up to exponential-size lower bounds on arithmetic proofs (in terms of the arithmetic circuit size of the identities proved) hold. Finally, we discuss the applicability of our approach to strong propositional proof systems such as Extended Frege.

研究动机与目标

• 为域 $\mathbb{F}$ 上的 $d \times d$ 矩阵恒等式开发一套逐级增强的可靠且完备的证明系统层级，其强度随 $d$ 增大而提升。
• 为矩阵恒等式的算术证明建立无条件的证明大小下界，尤其关注变量数 $n$ 的影响。
• 探讨矩阵恒等式是否可作为强证明系统（如扩展弗雷盖系统）的困难实例，特别是在电路复杂性与证明复杂性的语境下。
• 通过矩阵恒等式探究非交换算术电路复杂性与证明复杂性之间的联系，目标是获得指数级的下界。

提出的方法

• 引入一个强度逐级减弱的算术证明系统层级，其中第 $d$ 个层级对 $d \times d$ 矩阵恒等式的证明是完备的。
• 利用代数多项式恒等式理论中的基本结果，分析生成一个矩阵恒等式所需的最少生成元数量。
• 应用 [7] 中论证的广义版本，基于矩阵恒等式的结构推导出证明大小的下界。
• 利用矩阵恒等式表现出显著的消去性质、类似于交换多项式这一事实，来分析证明复杂性。
• 构造了一类含 $n$ 个变量的恒等式 $f_n$，使得任何证明 $f_n = 0$ 的过程都至少需要 $\Omega(n^{2d})$ 行。
• 依赖于 $Q$-度量与非代入不变性概念，排除某些困难恒等式家族的简化解法。

实验结果

研究问题

• RQ1 矩阵恒等式能否作为强证明系统（如扩展弗雷盖系统）的困难实例，特别是在算术证明的语境下？
• RQ2 证明一个含 $n$ 个变量的 $d \times d$ 矩阵恒等式所需的最少行数是多少？能否证明其下界为 $\Omega(n^{2d})$？
• RQ3 多项式 $Q$-度量与其电路复杂性之间是否存在联系，特别是当该多项式为矩阵恒等式时？
• RQ4 能否利用矩阵恒等式的证明复杂性，基于非交换电路复杂性中的合理猜想，推导出算术证明的指数级下界？
• RQ5 是否存在大小较小但 $Q$-度量较高的矩阵恒等式家族，表明其固有的证明复杂性？

主要发现

• 通过非交换代数技术，建立了对含 $n$ 个变量的 $d \times d$ 矩阵恒等式证明的无条件 $\Omega(n^{2d})$ 证明大小下界。
• 本文证明了生成一个矩阵恒等式所需的最少生成元数量受到一个随 $d$ 增长的函数的下界约束，该结果在多项式恒等式理论中具有独立兴趣。
• 研究显示，${\rm Mat}_d(\mathbb{F})$ 上的矩阵恒等式具有高度结构化特征，并表现出广泛的消去现象，使其行为更接近交换多项式而非一般的非交换多项式。
• 作者证明，即使拥有非交换电路的黑箱多项式恒等式测试（PIT），识别矩阵恒等式依然困难，因为像 $s_4$ 这类恒等式在非交换多项式中并不恒为零。
• 对于任意次数为 $d$ 的多项式 $f$，其 $Q$-度量满足 $Q(f) = O(n^{d-1})$，但该上界并不排除特定困难家族的高 $Q$-度量。
• 本文提供了证据表明，非代入有限基实例的恒等式家族对于证明强 $Q$-度量下界至关重要，因为这类家族可避免平凡的约化。