[论文解读] Generating nested quadrature formulas for general weight functions with known moments

Sanjay Mehrotra, Dávid Papp|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2012

Mathematical functions and polynomials参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文提出一种新颖算法，用于为具有已知有限矩的通用连续概率分布生成嵌套求积公式，无需依赖三重递推关系。该方法通过直接使用矩来构建类似正交多项式的结构，扩展了Patterson的方法，从而实现有理矩下的精确有理数算术运算，并在Mathematica中实现高效计算。

ABSTRACT

We revisit the problem of extending quadrature formulas for general weight functions, and provide a generalization of Patterson's method for the constant weight function. The method can be used to compute a nested sequence of quadrature formulas for integration with respect to any continuous probability measure on the real line with finite moments. The advantages of the method include that it works directly with the moments of the underlying distribution, and that for distributions with rational moments the existence of the formulas can be verified by exact rational arithmetic.

研究动机与目标

• 开发一种通用方法，用于构建适用于任意具有有限矩的连续概率分布的嵌套求积规则。
• 消除对正交多项式三重递推关系的依赖，这些关系通常不可用或难以计算。
• 当矩为有理数时，通过有理数算术实现精确计算，确保数值可靠性。
• 提供一种简化、可实现的算法，可直接基于矩进行运算，提升可访问性与可复现性。
• 将Patterson的方法从常数权函数情形推广至具有已知矩的一般权函数。

提出的方法

• 该方法采用两步算法：首先，通过寻找一个次数为 p 的多项式 G，使得 ∫F(t)G(t)t^i ρ(t)dt = 0 对于 i = 0,…,p−1 成立，其中 F 是以当前节点为根的多项式。
• 该方法确保扩展后的公式具有至少 n + 2p − 1 次的精确度，其中 n 是 F 的次数。
• 该算法依赖于从矩条件推导出的方程组，以确定 G 的存在性与结构。
• 利用符号计算验证此类 G 的存在性，通过根的条件、结式与判别式，确保其根为实数、单次且与 F 的根互异。
• 该方法在 Mathematica 中实现，包含两个核心函数：FormulaExtension 用于计算序列中下一个多项式，NodesAndWeights 通过求解线性系统计算节点与权重。
• 当输入为有理数时，所有计算均可使用精确有理数算术完成，实现无误差验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以系统性地生成适用于一般权函数的嵌套求积规则，而无需依赖正交多项式的三重递推关系？
• RQ2 如何仅利用权函数的矩，最大程度地扩展求积公式的精确度？
• RQ3 在保持嵌套性的同时，何种条件可确保扩展后的公式维持高次多项式精确度？
• RQ4 在多大程度上可应用精确有理数算术来验证求积公式的存在性与正确性？
• RQ5 该方法能否在具有已知矩的分布（如 Beta(1/2,1/2) 分布）上实现高效且可扩展的计算？

主要发现

• 该算法成功为 Beta(1/2,1/2) 分布生成了嵌套的求积公式序列，最终公式包含 121 个节点，且精确度至少为 121。
• 在 Mathematica 中，五次连续扩展的计算耗时不足 0.1 秒，显示出极高的计算效率。
• 五组公式的权重在 100 位精度下仅用 0.4 秒完成计算，证实了高精度计算的可行性。
• 当矩为有理数时，整个过程可完全通过精确有理数算术完成，确保数值可靠性与可验证性。
• 该方法将 Patterson 的算法推广至常数权函数之外，使其实用于任意具有已知矩的连续分布。
• 在 Mathematica 中的实现完全可用且易于访问，函数支持符号矩输入，并通过精确或高精度数值求解返回节点与权重。