[论文解读] Generating series of cyclically fully commutative elements is rational

Mathias Pétréolle|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2016

semigroups and automata theory参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过构建一个识别Coxeter群中CFC元素约化表达式的有限状态自动机，证明了任意Coxeter群中循环完全交换（CFC）元素的生成系列是有理的。利用该自动机及关于最小约化解的已有结果，作者通过正则语言的封闭性质确立了生成系列的有理性。

ABSTRACT

In this paper, we study the generating function of cyclically fully commutative elements in Coxeter groups, which are elements such that any cyclic shift of theirs reduced decompositions remains a reduced expression of a fully commutative element. By designing a finite state automaton recognizing reduced expressions of cyclically fully commutative elements, we can show that the aforementioned generating series is always rational.

研究动机与目标

• 建立任意Coxeter群中循环完全交换（CFC）元素生成系列的有理性。
• 将先前关于完全交换元素生成系列有理性的结果推广至更广泛的CFC元素类别。
• 提供一种基于自动机理论技术计算生成系列的构造性方法。
• 将先前关于有限与仿射Coxeter群的结果推广至任意Coxeter系统。

提出的方法

• 设计一个有限状态自动机，用于识别Coxeter群中CFC元素的约化表达式语言。
• 通过约化解与循环移位的组合性质，验证该自动机的正确性，确保其恰好接受CFC元素的约化表达式。
• 利用Brink与Howlett关于最小约化解可由有限自动机识别的结果。
• 将最小约化解语言的自动机与CFC表达式语言的自动机相交，以精确隔离每个CFC元素的一个代表。
• 利用正则语言在交运算下的封闭性质，以及正则语言生成系列的有理性，得出生成系列有理性的结论。
• 将自动机算法化实现，以计算正则表达式并生成系列，从而实现计算验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有Coxeter群中，循环完全交换元素的生成系列是否都是有理的？
• RQ2 能否构建一个有限状态自动机以识别CFC元素的约化表达式？
• RQ3 最小约化解语言与CFC表达式语言的交集是否构成正则语言？
• RQ4 是否可以在不依赖CFC元素直接递归分解的前提下，确立其生成系列的有理性？
• RQ5 识别CFC表达式的自动机的结构与规模如何？该自动机是否是最小的？

主要发现

• 任意Coxeter群中循环完全交换元素的生成系列 $ W^{CFC}(x) $ 是有理的。
• 明确构造并证明了识别CFC元素约化表达式的有限状态自动机的正确性。
• 最小约化解语言与CFC表达式语言的交集构成正则语言，从而蕴含生成系列的有理性。
• 该方法提供了一种算法化程序，用于计算CFC元素的正则表达式及其生成系列。
• 该结果确认并推广了早期关于有限与仿射Coxeter群的研究成果，在这些群中生成系列的有理性已知。
• CFC表达式识别自动机的状态数较多（例如 $\widetilde{A}_3$ 中为149个状态），提示存在优化或最小化的潜力。