[论文解读] Generating the algebraic theory of $C(X)$: the case of partially ordered compact spaces

Dirk Hofmann, Renato Neves+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文证明了偏序紧致空间与单调连续映射的范畴的对偶是 ℵ₁-ary 伪簇，提供了其代数理论的部分描述。此外，本文还表明该范畴上的维特勒斯余代数范畴同样是 ℵ₁-ary 伪簇，并将 ℵ₁-余表示对象精确刻画为可度量化的对象。

ABSTRACT

It is known since the late 1960's that the dual of the category of compact Hausdorff spaces and continuous maps is a variety -- not finitary, but bounded by $\aleph_1$. In this note we show that the dual of the category of partially ordered compact spaces and monotone continuous maps is a $\aleph_1$-ary quasivariety, and describe partially its algebraic theory. Based on this description, we extend these results to categories of Vietoris coalgebras and homomorphisms. We also characterise the $\aleph_1$-copresentable partially ordered compact spaces.

研究动机与目标

• 研究偏序紧致空间范畴的对偶范畴的代数结构，将已知的紧致豪斯多夫空间对偶结果加以扩展。
• 确定偏序紧致空间范畴的对偶是否构成一个簇或更一般的伪簇。
• 将对偶结果扩展至偏序紧致空间上的维特勒斯余代数范畴。
• 刻画偏序紧致空间范畴中的 ℵ₁-余表示对象。
• 基于对偶理论的前期工作，对 PosComp 对偶的代数理论提供部分描述。

提出的方法

• 利用 Hofmann 与 Neves（2016）的对偶结果，分析偏序紧致空间范畴的对偶范畴。
• 应用 ℵ₁-ary 伪簇的概念，描述对偶范畴的代数结构，推广已知的 CompHaus^op 的 ℵ₁-有界簇结构。
• 使用带有序结构和拓扑结构的单位区间 [0,1] 作为生成对象，构造对偶范畴中的代数运算。
• 应用 Bourbaki 的范畴中紧致空间极限的判别准则，通过 [0,1] 的有限次幂的因式分解分析余表示性。
• 在 PosComp 上应用维特勒斯函子以定义余代数，并证明由此得到的范畴的对偶同样是 ℵ₁-ary 伪簇。
• 通过将可度量空间嵌入 [0,1]^ℕ 并利用其到有限次幂的因式分解，证明可度量空间是 ℵ₁-余表示的。

实验结果

研究问题

• RQ1 偏序紧致空间范畴的对偶是否为簇，或更一般的伪簇？
• RQ2 PosComp 对偶的代数理论能否被部分描述？其运算与方程是什么？
• RQ3 PosComp 上的维特勒斯余代数范畴是否也构成一个 ℵ₁-ary 伪簇？
• RQ4 PosComp 中哪些对象是 ℵ₁-余表示的？能否对其进行刻画？
• RQ5 CompHaus 与普莱斯特利空间的对偶结果如何推广至更广泛的偏序紧致空间范畴？

主要发现

• 偏序紧致空间与单调连续映射的范畴的对偶是 ℵ₁-ary 伪簇。
• 本文基于 [0,1] 上的序结构导出的运算，对这一对偶范畴的代数理论提供了部分描述。
• 本文证明了 PosComp 上的维特勒斯余代数范畴同样是 ℵ₁-ary 伪簇，将对偶结果推广至余代数结构。
• 每个可度量化的偏序紧致空间在 PosComp 中都是 ℵ₁-余表示的。
• PosComp 中的 ℵ₁-余表示对象恰好是可度量化的对象，该结论通过 [0,1] 的有限次幂的因式分解得以确立。
• 证明依赖于将可度量空间嵌入 [0,1]^ℕ，并利用 ℵ₁-余表示的有限次幂的可数极限，从而得出余表示性。