[论文解读] Generation of mutually unbiased bases as powers of a unitary matrix in 2-power dimensions

Rod Gow|ArXiv.org|Mar 12, 2007

Matrix Theory and Algorithms参考文献 2被引用 39

一句话总结

该论文通过取一个 $d \times d$ 幺正矩阵的幂次（其阶为 $d+1$），在 $\mathbb{C}^d$ 中构造了 $d+1$ 个相互 unbiased 的基（MUBs），其中 $d = 2^a$。该幺正矩阵源于一个额外特殊 2-群的自同构。关键结果是：这样的矩阵能够生成全部 $d+1$ 个 MUBs，从而提供了一种基于群表示理论与李代数分解的新代数构造方法。

ABSTRACT

Let q be a power of 2. We show by representation theory that there exists a q x q unitary matrix of multiplicative order q+1 whose powers generate q+1 pairwise mutually unbiased base in C^q. When q is a power of an odd prime, there is a q x q unitary matrix of multiplicative order q+1 whose first (q+1)/2 powers generate (q+1)/2 pairwise mutually unbiased bases. We also show how the existence of these matrices implies the existence of a special type of orthogonal decomposition with respect to the Killing form of the special linear and symplectic Lie algebras.

研究动机与目标

• 为 $d = 2^a$ 的情形提供 $\mathbb{C}^d$ 中 $d+1$ 个相互 unbiased 基（MUBs）的显式代数构造，该情形下 MUBs 虽已知存在，但显式构造仍有限。
• 证明在 2 的幂次维度中，一个阶为 $d+1$ 的单一幺正矩阵的幂次可生成全部 $d+1$ 个 MUBs，从而为 MUBs 提供新的结构洞见。
• 建立此类幺正矩阵的存在性与特殊线性代数与辛李代数正交分解之间的联系。
• 将 2 的幂次情形与奇素数幂次维度进行对比，后者中仅能从一个阶为 $d+1$ 的幺正矩阵的前 $\frac{d+1}{2}$ 个幂次生成 $\frac{d+1}{2}$ 个 MUBs。
• 证明该矩阵诱导的自同构在 $d$ 为 2 的幂次时，对李代数 $\mathfrak{sl}_d(\mathbb{C})$ 中的 $d+1$ 个 Cartan 子代数作用是传递的。

提出的方法

• 对 $q = 2^a$，构造一个阶为 $q^4$ 的有限非交换群 $G_q$，其定义于 $\mathbb{F}_{q^2} \times \mathbb{F}_{q^2}$ 上的乘法规则，该群为额外特殊 2-群。
• 通过 $\mathbb{F}_{q^2}^\times$ 中阶为 $q+1$ 的元素 $\alpha$ 的乘法，定义 $G_q$ 的一个阶为 $q+1$ 的自同构 $\sigma$，其作用为 $\sigma(a,b) = (\alpha a, b)$。
• 在 $\mathbb{C}^q$ 上实现 $G_q$ 的不可约表示 $X$，其中幺正矩阵 $D$ 的阶为 $q+1$，其幂次生成 MUBs。
• 证明在表示 $X$ 下，极大阿贝尔子群的像构成标准正交基，且幺正矩阵 $D$ 传递地置换这些基。
• 利用 $G_q$ 的表示理论，证明 $D$ 的 $q+1$ 个幂次生成的 $q+1$ 个基彼此之间两两相互 unbiased。
• 建立特殊线性李代数 $\mathfrak{sl}_q(\mathbb{C})$ 与辛李代数 $\mathfrak{sp}_q(\mathbb{C})$ 的正交分解，将其分解为 $q+1$ 个 Cartan 子代数，且这些子代数在 $D$ 的共轭作用下传递置换。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $d = 2^a$ 时，$\mathbb{C}^d$ 中的 $d+1$ 个相互 unbiased 基能否作为阶为 $d+1$ 的单一幺正矩阵的幂次生成？
• RQ2 促成此类构造的群及其自同构的代数结构是什么？
• RQ3 额外特殊 2-群的表示理论如何与 2 的幂次维度中 MUBs 的构造相关联？
• RQ4 为何在奇素数幂次维度中，无法通过单一矩阵的幂次生成全部 $d+1$ 个 MUBs？
• RQ5 能否将 $\mathfrak{sl}_d(\mathbb{C})$ 分解为 $d+1$ 个 Cartan 子代数的正交分解（由阶为 $d+1$ 的自同构保持）推广至辛李代数？

主要发现

• 当 $d = 2^a$ 时，存在一个 $d \times d$ 的幺正矩阵 $D$，其乘法阶为 $d+1$，其幂次可在 $\mathbb{C}^d$ 中生成 $d+1$ 个两两相互 unbiased 的基。
• 该构造依赖于一个额外特殊 2-群 $G_q$ 的阶为 $d+1$ 的自同构，该自同构在 $\mathbb{C}^d$ 上诱导一个幺正表示。
• 这 $d+1$ 个基是通过表示下极大阿贝尔子群的像得到的，且该自同构传递地置换这些基。
• 相同方法可导出特殊线性李代数 $\mathfrak{sl}_d(\mathbb{C})$ 的正交分解，将其分解为 $d+1$ 个 Cartan 子代数，且这些子代数在阶为 $d+1$ 的自同构作用下传递置换。
• 在奇素数幂次维度 $d = p^a$ 中，仅能从一个阶为 $d+1$ 的幺正矩阵的前 $\frac{d+1}{2}$ 个幂次生成 $\frac{d+1}{2}$ 个 MUBs，且无法通过此方法完全生成全部 $d+1$ 个 MUBs。
• 对于辛李代数 $\mathfrak{sp}_d(\mathbb{C})$，存在类似的正交分解，其包含 $d+1$ 个 Cartan 子代数，且在相同阶为 $d+1$ 的自同构作用下传递置换。