[论文解读] Generators of the Hecke algebra of $(S_{2n},B_n)$

Kürşat Aker, Mahir Bilen Can|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2010

Molecular spectroscopy and chirality参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文为对称对 $(S_{2n}, B_n)$ 的 Hecke 代数构造了一组环生成元，其中 $B_n$ 为超八面体子群。证明了由关联图中恰好具有 $i$ 个圈的置换之和定义的生成元 $H_i$ 生成该代数，并证实了 Sho Matsumoto 关于通过 Jucys-Murphy 元素与幂等元 $ε_{B_n}$ 从对称多项式到 Hecke 代数的映射的满射性猜想。

ABSTRACT

A set of ring generators for the Hecke algebra of the Gel'fand pair $(S_{2n},B_n)$, where $B_n$ is the hyperoctahedral subgroup of the symmetric group $S_{2n}$ is presented. Various corollaries are given. A conjecture of Sho Matsumoto is proven.

研究动机与目标

• 确定 Hecke 代数 $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ 的有限组环生成元，该代数是 $S_{2n}$ 的整数群环的交换子代数。
• 构造一个具有滤子的通用环 $\mathcal{H}$，其对应的分次环同构于 Farahat-Higman 通用环 $\mathcal{Z}$ 的分次环。
• 证明由图 $\Gamma(w)$ 中恰好具有 $i$ 个连通分支（圈）的置换之和定义的元素 $H_i$ 作为环生成 $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$。
• 证实 Sho Matsumoto 的猜想：将 $n$ 个变量的对称多项式 $F$ 映射到 $F(J_1, J_3, \dots, J_{2n-1}) \cdot \varepsilon_{B_n}$ 的映射是满射。
• 建立通用环 $\mathcal{Z}$ 与 $\mathcal{H}$ 之间的同构，将表示理论与 Hilbert 滑移及 quiver 变体的上同调联系起来。

提出的方法

• 将 Hecke 代数 $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ 定义为在卷积下 $S_{2n}$ 上 $B_n$-双不变函数的环。
• 为每个 $w \in S_{2n}$ 引入图 $\Gamma(w)$，其中顶点为 $2n$ 个元素，边由对合 $t = (1\,2)(3\,4)\cdots(2n-1\,2n)$ 的作用定义。
• 将 $H_i$ 定义为所有满足 $\Gamma(w)$ 恰好有 $i$ 个连通分量（圈）的 $w \in S_{2n}$ 的和。
• 通过类似于 Farahat 和 Higman 对 $\mathcal{Z}$ 的构造方法，利用滤子构造通用环 $\mathcal{H}$，并证明 $\operatorname{gr}\mathcal{H} \cong \operatorname{gr}\mathcal{Z}$。
• 利用 Jucys-Murphy 元素 $J_k = \sum_{j=1}^{k-1} (j\,k)$ 和幂等元 $\varepsilon_{B_n} = \frac{1}{|B_n|} \sum_{b \in B_n} b$，将 $H_i$ 表示为 $e_{n-i}(J_1, J_3, \dots, J_{2n-1}) \cdot \varepsilon_{B_n}$。
• 证明 Hecke 代数中乘积 $K_\lambda K_{(r)}$ 的结构常数由包含 $m_{r+|\rho|}(\lambda)$、$r!$ 和 $|K_\rho(n+1)|$ 的公式给出，从而导出定理 4.4 中的关键系数公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hecke 代数 $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ 的最小环生成元集是什么？
• RQ2 Hecke 代数 $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ 的结构如何与 Farahat 和 Higman 构造的通用环 $\mathcal{Z}$ 相关联？
• RQ3 Sho Matsumoto 的猜想是否成立：映射 $F \mapsto F(J_1, J_3, \dots, J_{2n-1}) \cdot \varepsilon_{B_n}$ 是否满射到 $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$？
• RQ4 Hecke 代数 $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ 中基元素乘积的结构常数的精确公式是什么？
• RQ5 此处构造的通用环 $\mathcal{H}$ 与 Farahat-Higman 通用环 $\mathcal{Z}$ 之间是否存在自然同构？

主要发现

• Hecke 代数 $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ 作为环由元素 $H_i$（$1 \leq i \leq n$）生成，其中 $H_i$ 是所有满足图 $\Gamma(w)$ 恰好有 $i$ 个圈的 $w \in S_{2n}$ 的和。
• 本文构造的通用环 $\mathcal{H}$ 同构于 Farahat-Higman 通用环 $\mathcal{Z}$，且两者对应的分次环同构于 Hilbert 滑移 $\operatorname{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$ 的上同调环。
• 元素 $H_i$ 满足恒等式 $H_i = e_{n-i}(J_1, J_3, \dots, J_{2n-1}) \cdot \varepsilon_{B_n}$，从而证实了 Sho Matsumoto 的猜想。
• Hecke 代数 $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ 中乘积 $K_\lambda K_{(r)}$ 的结构常数由公式 $b_{\lambda\,(r)}^{(r+|\rho|)\cup\lambda-\rho} = \frac{(m_{r+|\rho|}(\lambda)+1)(r+|\rho|+1)r!}{\prod_{i \geq 0} m_i(\rho)!}$ 给出，其中 $\rho$ 是具有 $m_i(\rho)$ 个大小为 $i$ 的部分的分拆。
• 环 $\mathcal{H}$ 的分次环同构于 $\operatorname{gr}\mathcal{Z}$，且 $\mathcal{H}$ 是可数多个不定元上的自由多项式代数。
• 该构造通过通用环 $\mathcal{H}$ 建立了 $S_{2n}$ 表示理论、Hilbert 滑移上同调与 Nakajima quiver 变体之间的直接联系。