[论文解读] Generic linear perturbations

Shunsuke Ichiki|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Advanced Banach Space Theory参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过引入从 ℝᵐ 的子流形到 ℝˡ 的光滑映射的通用线性扰动，推广了 Mather 的通用投影理论。证明了几乎所有此类扰动均产生相对于模子流形的横截映射，从而扩展了经典关于 Morse 函数、优秀映射和稳定性的结果。关键贡献是在线性扰动下获得了一个稳健的横截性结果，适用于广义距离平方映射和 Thom-Boardman 型流形。

ABSTRACT

In his celebrated paper "Generic projections", John Mather has shown that almost all linear projections from a submanifold of a vector space into a subspace are transverse with respect to a given modular submanifold. In this paper, an improvement of Mather's result is stated. Namely, we show that almost all linear perturbations of a smooth mapping from a submanifold of $\mathbb{R}^m$ into $\mathbb{R}^\ell$ yield a transverse mapping with respect to a given modular submanifold. Moreover, applications of this result are given.

研究动机与目标

• 通过用通用线性扰动替代投影，将 Mather 的经典通用投影结果推广至更广范围。
• 建立扰动映射相对于模子流形（包括 Thom-Boardman 型流形）的横截性。
• 提供通用线性扰动产生局部无穷小稳定或稳定映射的条件。
• 将主结果应用于广义距离平方映射，证明其在合适维数范围内的通用稳定性。

提出的方法

• 引入扰动映射 $ F_\pi = F + \pi $，其中 $ \pi \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^\ell) $ 是作用于光滑映射 $ F: U \to \mathbb{R}^\ell $ 的线性映射作为扰动。
• 利用空间 $ \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^\ell) \cong (\mathbb{R}^m)^\ell $ 参数化扰动，并应用测度论论证，证明几乎所有扰动均满足所需性质。
• 应用参数化横截性定理，证明对于通用 $ \pi $，喷射提升 $ {}_s j^r(F_\pi \circ f) $ 与给定的模子流形 $ W \subset {}_s J^r(N, \mathbb{R}^\ell) $ 横截。
• 构造从 $ (\mathbb{R}^m)^\ell $ 到 $ \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^\ell) $ 的微分同胚 $ \psi $，以转移零测集并保持扰动下的横截性。
• 将主结果应用于广义距离平方映射 $ G_{(p,A)}(x) = \sum_{j=1}^m a_{ij}x_j^2 - 2\sum_{j=1}^m a_{ij}p_{ij}x_j $，证明其通用稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 通用线性扰动能否确保光滑映射相对于模子流形的横截性？
• RQ2 该扰动框架是否可将 Mather 关于 Morse 函数和优秀映射的结果推广至更广泛的映射类？
• RQ3 广义距离平方映射的通用扰动在何种条件下为局部无穷小稳定？
• RQ4 在何种条件下，喷射提升的横截性在直线性扰动下保持不变？

主要发现

• 对于任意光滑嵌入 $ f: N \to \mathbb{R}^m $ 和光滑映射 $ F: U \to \mathbb{R}^\ell $，通用线性扰动 $ F_\pi = F + \pi $ 使得映射 $ F_\pi \circ f $ 与任意给定的模子流形横截。
• 当 $ (n,\ell) = (n,1) $ 时，通用扰动在 $ N $ 上诱导出一个 Morse 函数。
• 当 $ (n,\ell) = (2,2) $ 时，通用扰动诱导出映射到 $ \mathbb{R}^2 $ 的优秀映射。
• 当 $ (n,\ell) = (2,3) $ 时，通用扰动的像仅包含法向交叉点和捏缩点作为奇点。
• 若 $ (n,\ell) $ 属于合适的维数范围，则通用扰动产生局部无穷小稳定映射；若 $ N $ 是紧致的，则映射是稳定的。
• 对于广义距离平方映射 $ G_{(p,A)} $，若 $ (m,\ell) $ 属于合适维数范围，则通用选择中心 $ p \in (\mathbb{R}^m)^\ell $ 可产生局部无穷小稳定映射。