[论文解读] Generic Pseudogroups on (C,0) and the Topology of Leaves

Jean-François Mattéi, Julio C. Rebelo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 4

一句话总结

该论文证明，通常情况下，由固定点 0 ∈ ℂ 的全纯微分同胚生成的伪群是循环群的自由积，即使在保持共轭类的情况下也是如此。这一结果表明，对于通常的具有尖点分离子 {y² + x²ᵏ⁺¹ = 0} 的幂零全纯叶状结构，仅有可数多个叶是非单连通的，且该集合是无限的——从而解决了关于此类叶状结构长期存在的拓扑学问题。

ABSTRACT

We show that generically a pseudogroup generated by holomorphic diffeomorphisms defined about $0 \in \mathbb{C}$ is free in the sense of pseudogroups even if the class of conjugacy of the generators is fixed. This result has a number of consequences on the topology of leaves for a (singular) holomorphic foliation defined on a neighborhood of an invariant curve. In particular in the classical and simplest case arising from local foliations possessing a unique separatrix that is given by a cusp of the form $\{y^2-x^{2k+1}=0\}$, our results allow us to settle the problem of showing that a generic foliation possesses only countably many non-simply connected leaves and that this countable set is, indeed, infinite.

研究动机与目标

• 为解决具有尖点分离子的奇点全纯叶状结构中叶的拓扑结构这一长期存在的问题。
• 证明对于通常的具有分离子 {y² + x²ᵏ⁺¹ = 0} 的幂零叶状结构，仅有可数多个叶是非单连通的。
• 在全holonomy伪群的通常条件下，确立非单连通叶的可数集合是无限的。
• 证明通常情况下，由 0 ∈ ℂ 处的全纯微分同胚生成的伪群是自由的，即使在保持共轭类的情况下也是如此。
• 证明在通常伪群作用下，存在无穷多个双曲不动点，其轨道两两不相交。

提出的方法

• 使用 Diff(ℂ,0) 上的解析拓扑和 Baire 性质，通过 Gδ 稠密集定义通常性。
• 通过与恒等映射接近的微分同胚对生成元进行共轭，以在保持共轭类的同时实现生成伪群的自由性。
• 应用一个通常性结果（定理 B），表明经共轭后的微分同胚所生成的伪群同构于原始循环群的自由积。
• 构造一个邻域 V ⊂ ℂ，使得任何在 V 的某个非空开子集上与恒等映射重合的伪群元素，必须在其整个定义域上恒为平凡。
• 利用全纯映射和叶中环路的同伦性来通过在圆盘上非恒等的全纯映射检测非平凡拓扑。
• 对定义叶状结构的 1-形式进行变形，得到一个与原形式在阶数 N 内相切的通常形式，同时保持 A²ᵏ⁺¹ 奇点类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否完全刻画通常幂零全纯叶状结构中具有尖点分离子 {y² + x²ᵏ⁺¹ = 0} 的叶的拓扑结构？
• RQ2 此类叶状结构中非单连通叶的集合是否可数，且是否为无限集？
• RQ3 通常尖点叶状结构的全纯映射伪群是否允许存在无穷多个双曲不动点，且其轨道两两不相交？
• RQ4 在保持共轭类的前提下，能否实现由全纯微分同胚生成的伪群的自由性？
• RQ5 在解析拓扑下，通常共轭在实现自由伪群结构中起什么作用？

主要发现

• 对于通常幂零叶状结构中具有尖点分离子 {y² + x²ᵏ⁺¹ = 0} 的情况，仅有可数多个叶是非单连通的。
• 该可数个非单连通叶的集合是无限的，从而解决了叶状结构理论中的一个经典公开问题。
• 在通常情况下，由全纯映射生成的伪群同构于循环群的自由积，即使生成元的共轭类被固定也是如此。
• 存在一个统一的邻域 V ⊂ ℂ，使得任何在 V 的非空开子集上与恒等映射重合的伪群元素，必须在其整个定义域上恒为平凡。
• 在 V 中存在无穷多个伪群元素的双曲不动点，其轨道在伪群作用下两两不相交。
• 若叶中非平凡环路不与 g² 和 fᵏ⁺¹ 的词同伦，则其关联的全纯映射在某个分支上非恒等，从而表明存在非平凡拓扑。