[论文解读] Generic Single Edge Fault Tolerant Exact Distance Oracle

Manoj Gupta, Aditi Singh|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种针对无向无权图中σ个源点的通用单边故障容错精确距离查询结构，实现˜O(σ¹/²n³/²)的空间复杂度与˜O(1)的查询时间。该方法通过一种新颖的路径非不交性论证来处理非不交的替代路径，并利用BFS树上的数据结构与范围查询，通过路径的仔细分解与边避让检测，实现常数时间查询。

ABSTRACT

Given an undirected unweighted graph G and a source set S of |S| = sigma sources, we want to build a data structure which can process the following query Q(s,t,e): find the shortest distance from s to t avoiding an edge e, where s in S and t in V. When sigma=n, Demetrescu, Thorup, Chowdhury and Ramachandran (SIAM Journal of Computing, 2008) designed an algorithm with O~(n^2) space and O(1) query time. A natural open question is to generalize this result to any number of sources. Recently, Bil{ò} et. al. (STACS 2018) designed a data-structure of size O~(sigma^{1/2}n^{3/2}) with the query time of O(sqrt{n sigma}) for the above problem. We improve their result by designing a data-structure of size O~(sigma^{1/2} n^{3/2}) that can answer queries in O~(1) time. In a related problem of finding fault tolerant subgraph, Parter and Peleg (ESA 2013) showed that if detours of replacement paths ending at a vertex t are disjoint, then the number of such paths is O(sqrt{n sigma}). This eventually gives a bound of O(n sqrt{n sigma}) = O(sigma^{1/2}n^{3/2}) for their problem. Disjointness of detours is a very crucial property used in the above result. We show a similar result for a subset of replacement path which may not be disjoint. This result is the crux of our paper and may be of independent interest.

研究动机与目标

• 该论文旨在将单源故障容错距离查询结构推广至多源情形。
• 旨在弥合故障容错子图的空间效率与距离查询结构的查询效率之间的差距。
• 目标是实现多源、单边故障距离查询的亚二次空间复杂度与常数时间查询。
• 旨在提供一种几乎匹配Parter和Peleg的故障容错子图构造空间上界解法。

提出的方法

• 该方法为每个顶点t构建以t为根的σ-BFS树，以组织替代路径。
• 引入两种数据结构I1(t)与I2(t)，以高效定位路径与σ-BFS树的首个交点。
• 将路径分解为重段与轻段，分别处理不同类型的路径。
• 利用范围最小值查询(RMQ)与基于深度的索引，检测某条边是否位于替代路径的避让范围内。
• 利用如下性质：对于距离交点较远的顶点，沿度为2的路径上交点保持不变。
• 结合R1（短绕行）与R2（长绕行）的结果，计算避开故障边的最短距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为σ个源点构造出空间复杂度接近˜O(σ¹/²n³/²)、查询时间˜O(1)的单边故障容错精确距离查询结构？
• RQ2 替代路径的何种结构性质使得其在多源环境下可实现高效索引与查询？
• RQ3 是否仍可使用类似不交情况的计数论证，对非不交替代路径结构的规模进行有界控制？
• RQ4 如何为任意源点与目标点高效计算源路径与σ-BFS树的交点？
• RQ5 是否可能在保持接近最优空间复杂度的同时，实现多源故障容错距离查询结构的常数时间查询？

主要发现

• 该论文构建了一个空间复杂度为˜O(σ¹/²n³/²)、查询时间为˜O(1)的距离查询结构，适用于多源、单边故障的距离查询。
• 相比Bilò等人˜O(√nσ)的查询时间，该方法在保持相同空间复杂度的前提下实现了显著改进。
• 关键技术贡献是一个新的结构引理，表明即使在非不交替代路径的情况下，也可通过计数论证控制其数量。
• 该方法使用两层数据结构（I1(t)与I2(t)），在˜O(1)时间内定位路径与σ-BFS树的首个交点。
• 该算法通过结合两类路径的结果（短绕行路径R1与长绕行路径R2），正确识别出避开故障边的最短路径。
• 所有顶点t的总空间复杂度为˜O(σ¹/²n³/²)，与故障容错子图的已知下界在多对数因子内一致。