[论文解读] Generically multiple transitive algebraic group actions

Vladimir L. Popov|ArXiv.org|Sep 2, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 23被引用 22

一句话总结

本文引入了连通代数群 G 的通用传递度（gtd），定义为使得 G 在某个不可约概形 X 上作用于 X^n 的对角作用具有开轨道的最大 n，即 G 在 X 上通用 n 重传递。本文证明：可解群的 gtd ≤ 2，幂零群的 gtd = 1；对半单群，gtd(G) 通过旗丛商 G/P 显式计算，且在某些极大抛物子群上达到最大 gtd，从而解决了 M. Burger 关于 (G/P)^3 中存在开轨道的问题。

ABSTRACT

With every nontrivial connected algebraic group $G$ we associate a positive integer ${ m gtd}(G)$ called the generic transitivity degree of $G$ and equal to the maximal $n$ such that there is a nontrivial action of $G$ on an irreducible algebraic variety $X$ for which the diagonal action of $G$ on $X^n$ admits an open orbit. We show that ${ m gtd}(G)\leqslant 2$ (respectively, ${ m gtd}(G)= obreak 1$) for all solvable (respectively, nilpotent) $G$, and we calculate ${ m gtd}(G)$ for all reductive $G$. We prove that if $G$ is nonabelian reductive, then the above maximal $n$ is attained for $X=G/P$ where $P$ is a proper maximal parabolic subgroup of $G$ (but not only for such homogeneous spaces of $G$). For every reductive $G$ and its proper maximal parabolic subgroup $P$, we find the maximal $r$ such that the diagonal action of $G$ (respectively, a Levi subgroup $L$ of ~$P$) on $(G/P)^r$ admits an open $G$-orbit (respectively, $L$-orbit). As an application, we obtain upper bounds for the multiplicities of trivial components in some tensor product decompositions. As another application, we classify all the pairs $(G, P)$ such that the action of $G$ on $(G/P)^3$ admits an open orbit, answering a question of {\sc M. Burger}.

研究动机与目标

• 定义并计算连通代数群的通用传递度（gtd），推广多重传递群作用的概念。
• 解决 M. Burger 关于单代数群 G 在 (G/P)^3 上作用是否具有开轨道的问题，其中 P 为真极大抛物子群。
• 分类所有满足 G 在 G/P 上通用三重传递作用的对 (G, P)。
• 利用 gtd 理论为张量积分解中平凡表示分量的重数提供上界。

提出的方法

• 将通用传递度 gtd(G) 定义为使得 G 在某个非平凡不可约概形 X 上的对角作用在 X^n 上具有开轨道的最大 n。
• 运用表示理论与几何不变量理论，分析旗丛 G/P 乘积中开轨道的存在性。
• 应用 quiver 表示与二次型（通过 Schofield 的工作）的结果，计算 A 型群的 gtd，利用条件 ⟨λ,λ⟩ > 0 以判断 GL_λ-轨道在 Rep(V_d, λ) 中的存在性。
• 利用同构不变性与 Levi 子群约化，将 gtd(G) 与单成分的 gtd 关联，尤其针对半单群。
• 利用 Weyl 群作用与反射函子（r_i）通过维向量的同余类将问题约化为基本情形。
• 利用不等式 n·dim X > dim G 作为 gtd(G) > n 的必要条件，从而为最大可能的 gtd(G) 提供上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些连通单代数群 G 和真极大抛物子群 P，G 在 (G/P)^3 上作用具有开轨道？
• RQ2 连通代数群 G 在某个不可约概形 X 上通用 n 重传递作用的最大 n 是多少？
• RQ3 通用传递度在同构与群积下如何表现，尤其对半单群而言？
• RQ4 哪些半单群达到最大的 gtd？对于哪些抛物子群 P，gtd(G:G/P) 最大？
• RQ5 基于 gtd 理论，张量积中平凡表示分量的精确上界是什么？

主要发现

• 对可解群 G，有 gtd(G) ≤ 2；对幂零群 G，有 gtd(G) = 1。
• 对半单群 G，有 gtd(G) = max gtd(S_i)，其中 S_i 为 G 的单成分，且对任意同构 Ḡ → G，有 gtd(G) = gtd(Ḡ)。
• 对 A_l 型群 G，有 gtd(G:G/P_i) = m_{li}，其中 m_{li} 是满足 a < (l+1)^2 / (i(l+1−i)) 的最大整数，且 gtd(G) = l+2。
• 对非阿贝尔半单群 G，最大 gtd(G) 在某个真极大抛物子群 P 上达到，且对所有经典型与例外型，gtd(G:G/P) 均显式计算。
• 本文分类了所有满足 G 在 (G/P)^3 上作用具有开轨道的对 (G, P)，从而回答了 M. Burger 的问题。
• 该理论为半单群不可约表示张量积中平凡表示分量的重数提供了上界。