[论文解读] Genuine Bianchi modular forms of higher level, at varying weight and discriminant

Alexander D. Rahm, Panagiotis Tsaknias|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文为虚二次域上更高水平和不同权的非真实Bianchi模形式开发了显式、可机器计算的维数公式，实现了对稀有真实形式的系统识别。作者通过引入基变更和扭形式贡献，将先前仅限于水平1的结果扩展至更高水平，并首次构建了水平1以上的真正Bianchi模形式数据库，发现了判别式为−11时178个真正权2形式，判别式为−7时200个真正权2形式，同时亦检测到更高权的例子。

ABSTRACT

Bianchi modular forms are automorphic forms over an imaginary quadratic field, associated to a Bianchi group. Even though modern studies of Bianchi modular forms go back to the mid 1960's, most of the fundamental problems surrounding their theory are still wide open. Only for certain types of Bianchi modular forms, which we will call non-genuine, it is possible at present to develop dimension formulas: They are (twists of) those forms which arise from elliptic cuspidal modular forms via the Langlands Base-Change procedure, or arise from a quadratic extension of the imaginary quadratic field via automorphic induction (so-called CM-forms). The remaining Bianchi modular forms are what we call genuine, and they are of interest for an extension of the modularity theorem (formerly the Taniyama-Shimura conjecture, crucial in the proof of Femat's Last Theorem) to imaginary quadratic fields. In a preceding paper by Rahm and Sengun, an extreme paucity of genuine cuspidal Bianchi modular forms has been reported, but those and other computations were restricted to level One. In this paper, we are extending the formulas for the non-genuine Bianchi modular forms to deeper levels, and we are able to spot the first, rare instances of genuine forms at deeper level and heavier weight.

研究动机与目标

• 将非真实Bianchi模形式的维数公式扩展至水平1以上，此前结果仅限于水平1。
• 实现更高水平和更重权下真实Bianchi模形式的系统计算，这对于检验Brumer–Kramer参数模化与Eichler–Shimura猜想至关重要。
• 提供基变更、扭形式及CM形式在更高水平下的显式、可机器计算的公式，克服先前的计算限制。
• 构建一个新的Bianchi模形式数据库，通过从完整上同调计算中减去非真实子空间，实现真正形式的分离。

提出的方法

• 作者利用Eckmann–Shapiro引理，通过Eichler–Shimura同构计算上同调，推导出更高水平下非真实Bianchi模形式的显式维数公式。
• 将基变更维数公式扩展至更高水平，将基变更形式的扭形式作为非真实空间的一部分进行考虑。
• 公式根据类数和判别式进行分情况讨论，重点关注类数为奇数的域及满足p ≡ 3 mod 4的特定素数。
• 在第6节中以算法形式实现公式，提供机器计算的指令。
• 通过Bianchi模形式群的几何方法计算Bianchi模形式空间的完整维数，并减去非真实子空间以分离出真正形式。
• 最终数据库通过计算同调与上同调计算生成，结果展示至判别式−7和−11的水平范数分别为2657和2803。

实验结果

研究问题

• RQ1 在类数为奇数的虚二次域上，更高水平和任意权的非真实Bianchi模形式的维数公式是什么？
• RQ2 在更高水平的Bianchi模形式计算中，如何系统地计入基变更和扭形式的贡献？
• RQ3 首个超越水平1的真正Bianchi模形式系统性数据库是什么？在更高权和水平下，真正空间的维数是多少？
• RQ4 能否通过更高水平下真正形式的新例子，支持Eichler–Shimura与Brumer–Kramer猜想？
• RQ5 真正Bianchi模形式在更高水平和权下的分布与丰度如何，特别是在权2及以上？

主要发现

• 本文首次提出更高水平下非真实Bianchi模形式（包括基变更、扭形式及CM形式）的显式、可机器计算的维数公式。
• 对于判别式−7，在水平范数达2657的范围内共发现200个真正权2形式，维数最高达5。
• 对于判别式−11，在水平范数达2491的范围内共识别出178个真正权2形式，维数最高达12。
• 检测到更高权的真正形式，包括权4和6的维数1空间，以及权4和6的维数2空间。
• 数据库揭示了在判别式−7下有30个真正权2形式维数为3，在判别式−11下有18个维数为4。
• 结果证实了水平1以上的真正形式的存在，包括判别式−11下4个维数12的真正权2形式，以及判别式−7下4个维数12的真正形式。