[论文解读] Genuine Lie semigroups and semi-symmetries of PDEs

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|Apr 26, 2006

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文引入了真正的李半群（GLS）——光滑的、不可逆的坐标变换，属于 $\mathcal{C}^\infty(M,M)$，其将经典李群对称性推广至不可逆映射。通过将 PDE 的解嵌入为图像并使用参数表示，GLS 在解空间上实现全局作用，实现不依赖可逆性的半对称性，从而将李的对称方法推广至微分同胚之外的更广范围。

ABSTRACT

Any Lie group G acting on a Euclidean nonvoid open subset M can be seen as a subgroup of the smooth diffeomorphisms Diff^\infty(M,M) of M into itself. Thus actions by such Lie groups G correspond to smooth coordinate transforms on M which, in particular, have smooth inverses. In Rosinger [1, chap. 13], the study of Lie semigroups G in the vastly larger semigroup C^\infty(M,M) of smooth maps of M into itself was initiated. Such semigroups were named "genuine Lie semigroups", or in short, GLS, since they are no longer contained in Diff^\infty(M,M), thus they correspond to smooth coordinate transforms which need not have smooth inverses. Genuine Lie semigroups, or GLS, have a major interest since they still can transform solutions of linear or nonlinear PDEs into other solutions of the respective equations, thus leading to the vastly larger class of "semi-symmetries" of such equations. Certain Lie semigroups have earlier been studied in the literature, Hilgert, et.al. However, such semigroups have always been contained in suitable Lie groups, thus they have been contained in Diff^\infty(M,M) as sub-semigroups. In particular, the coordinate transforms defined by them were always invertible, unlike in the case of "genuine Lie semigroups", or GLS, studied here.

研究动机与目标

• 将 PDE 的经典李群对称性从可逆微分同胚推广至包含不可逆光滑变换的更广范围。
• 通过参数表示在解图像上定义光滑映射的全局作用，避免对可逆性的要求。
• 在 $\mathcal{C}^\infty(M,M)$ 中建立基于真正李半群（GLS）的 PDE 半对称性框架，其中 GLS 不属于 $\mathrm{Diff}^\infty(M,M)$。
• 证明保解变换无需可逆，从而将经典对称方法推广至线性和非线性 PDE。

提出的方法

• 将 PDE 的解 $U: \Omega \to \mathbb{R}$ 嵌入为图像 $\gamma_U = \{(x, U(x)) \mid x \in \Omega\} \subset M = \Omega \times \mathbb{R}$。
• 通过定义 $V: \Lambda \to M$ 的参数映射（$\Lambda \subset \mathbb{R}^n$ 为开集）表示解，从而允许更大类别的变换。
• 通过复合定义全局群作用：$gV = g \circ V$，其中 $g: M \to M$ 为光滑映射。
• 将此作用从李群推广至真正的李半群（GLS），即 $\mathcal{C}^\infty(M,M)$ 的子半群，但不包含于 $\mathrm{Diff}^\infty(M,M)$。
• 利用 $\mathcal{C}^\infty(M,M)$ 中复合运算的结合律与单位元性质，即使在无可逆性时仍可实现半群作用。
• 借助参数表示，在无需对变换 $g$ 求逆的情况下定义对函数的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 PDE 的保解变换能否从可逆微分同胚推广至不可逆光滑映射？
• RQ2 不包含于 $\mathrm{Diff}^\infty(M,M)$ 的 $\mathcal{C}^\infty(M,M)$ 中的光滑半群的结构与作用为何？
• RQ3 如何通过参数表示将李群在解图像上的作用推广至不可逆光滑映射？
• RQ4 此类广义作用对线性和非线性 PDE 的对称性理论有何影响？
• RQ5 能否系统地定义并分类基于真正李半群的半对称性？

主要发现

• 真正的李半群（GLS）是 $\mathcal{C}^\infty(M,M)$ 的子半群，但不包含于 $\mathrm{Diff}^\infty(M,M)$，允许不可逆的光滑坐标变换。
• 此类半群对 PDE 解的作用通过参数表示 $V: \Lambda \to M$ 的复合定义，避免了对变换可逆性的要求。
• 全局作用 $G \times \mathcal{C}^\infty_n(M) \to \mathcal{C}^\infty_n(M)$ 定义为 $gV = g \circ V$，可自然推广至 $\mathcal{C}^\infty(M,M)$ 中的所有光滑映射，而不仅限于微分同胚。
• 在 GLS 作用下 PDE 的解被保持，即若 $V$ 是解，则 $gV$ 仍为解，即使 $g$ 不可逆。
• 该框架通过引入不要求可逆的“半对称性”，将李的经典对称方法推广，显著扩大了对称性的类别。
• 参数表示方法实现了解变换的统一处理，其关键要求仅为光滑性，而非可逆性。