[论文解读] Genus of numerical semigroups generated by three elements

Hirokatsu Nari, Takahiro Numata+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2011

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文推导出由三个元素生成的非对称数值半群的亏格公式，表明其由Frobenius数以及αβγ或α′β′γ′决定，具体取决于β′b与αa的比较。关键结果是通过αβγ = 1或α′β′γ′ = 1来刻画拟对称半群，并提供一种算法，用于按Frobenius数分类所有此类半群。

ABSTRACT

In this paper we study numerical semigroups generated by three elements. We give a characterization of pseudo-symmetric numerical semigroups. Also, we will give a simple algorithm to get all the pseudo-symmetric numerical semigroups with give Frobenius number.

研究动机与目标

• 使用代数不变量确定由三个元素生成的非对称数值半群H = <a,b,c>的亏格。
• 刻画此类半群为拟对称的条件，将其性质与αβγ或α′β′γ′是否等于1相联系。
• 开发一种算法，用于生成所有具有固定Frobenius数的三生成拟对称数值半群。
• 阐明半群环的定义矩阵与H的亏格及对称性质之间的关系。

提出的方法

• 亏格g(H)与Frobenius数F(H)的关系由方程2g(H) − (F(H) + 1) = αβγ或α′β′γ′给出，具体取决于不等式β′b > αa或β′b < αa。
• 半群环R = k[H]的定义理想由包含幂α, β, γ, α′, β′, γ′的2×3矩阵的极大子式生成。
• 通过分析映射φ: k[X,Y,Z] → k[t^a,t^b,t^c]的核p，研究半群环R = k[X,Y,Z]/p的结构，从而得到a, b, c关于α, β, γ, α′, β′, γ′的表达式。
• 拟对称半群的刻画依赖于类型t(H) = 2的条件，该条件恰好在αβγ = 1或α′β′γ′ = 1时成立。
• 通过测试所有满足条件的三元组(α,β,γ)或(α′,β′,γ′)，构造出算法，使得生成的a,b,c互素且构成具有给定F(H)的数值半群。
• 分析利用了伪Frobenius数和半群环的a-不变量的性质，将F(H)识别为H^1_m(R)中非可逆元的最大次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 三生成非对称数值半群的亏格与其定义矩阵参数α, β, γ, α′, β′, γ′之间的确切关系是什么？
• RQ2 三生成数值半群在何种情况下为拟对称？其代数检测方法为何？
• RQ3 能否系统地枚举所有具有三生成元和固定Frobenius数的拟对称数值半群？
• RQ4 参数α, β, γ, α′, β′, γ′的哪些条件会阻止半群成为数值半群（例如由于存在公因数）？

主要发现

• 当β′b > αa时，亏格g(H)满足2g(H) − (F(H) + 1) = αβγ；当β′b < αa时，满足= α′β′γ′。
• 三生成数值半群H为拟对称当且仅当αβγ = 1或α′β′γ′ = 1。
• 当F(H) = 18时，本文识别出恰好两个拟对称半群：<4,11,13>和<5,16,7>。
• 当F(H)可被12整除时，拟对称半群可能不存在；必要条件是F(H)/2 + 1有一个模3余2的素因子。
• 该条件的逆命题的最小反例为F(H) = 1596，此时F(H)/2 + 1 = 799 = 17×47（两者均≡2 mod 3），但不存在有效的(α,β,γ)能生成数值半群。
• 当且仅当β′ = γ = 1时，半群H为简单半群（即极小生成元意义下的简单性），这也意味着H的类型为2。