[论文解读] Genus Periods, Genus Points and Congruent Number Problem

Ye Tian, Xinyi Yuan+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文通过其素因子的勒让德符号，建立了一个新的平方自由正整数 $ n $ 为同余数的充分条件，推广了希根、伯奇–斯蒂芬斯、蒙斯科及田刚的前期工作。通过利用瓦尔德斯普鲁格和格罗斯–察吉尔公式，将解析的塔特–沙法列维奇数 $ \mathscr{L}(n) $ 与典范周期及典范点联系起来，作者证明了 $ \mathscr{L}(n) $ 是整数，并根据典范类数确定其奇偶性，支持了密度猜想：约 $ 50\% $ 的 $ n \equiv 5,6,7 \pmod{8} $ 是同余数。

ABSTRACT

In this paper, based on an ideal of Tian, we establish a new sufficient condition for a positive integer to be a congruent number in terms of Legendre symbols of prime factors of the positive integer. Our criterion generalizes previous criterions of Heegner, and Birch--Stephens, Monsky, and Tian, and conjecturally provides a list of positive density of congruent numbers. Our method of proving our criterion is to give formulae for the analytic Tate--Shafarevich number in terms of the so-called genus periods and genus points. These formulae are derived from the Waldspurger formula and the generalized Gross--Zagier formula of Yuan-Zhang-Zhang.

研究动机与目标

• 基于 $ n $ 的素因子的勒让德符号，推广先前关于同余数的判别准则。
• 以典范周期与典范点为工具，建立 $ n $ 为同余数的充分条件。
• 利用典范类数证明解析塔特–沙法列维奇数 $ \mathscr{L}(n) $ 为整数，并确定其奇偶性。
• 支持同余数的密度猜想：所有 $ n \equiv 5,6,7 \pmod{8} $ 均为同余数，且约 $ 50\% $ 的 $ n \equiv 1,2,3 \pmod{8} $ 不是同余数。
• 通过高级 L 函数与算术几何工具，统一并拓展希根、伯奇–斯蒂芬斯、蒙斯科及田刚的结果。

提出的方法

• 通过瓦尔德斯普鲁格公式，利用典范周期与典范点，推导出解析塔特–沙法列维奇数 $ \mathscr{L}(n) $ 的显式表达式。
• 应用袁–张–张的广义格罗斯–察吉尔公式，将 $ \mathscr{L}(n) $ 与椭圆曲线上典范点的高联系起来。
• 利用测试向量与Whittaker函数理论，计算局部 L 函数及其留数。
• 通过模 2 化简并关联到所有满足 $ d_i \equiv 1 \pmod{8} $ 的因子 $ d_i $ 的典范类数乘积 $ g(d_i) $，计算 $ \mathscr{L}(n) $ 的奇偶性。
• 运用雷代定理，将 $ g(d) $ 的奇偶性表示为 $ d $ 的素因子的勒让德符号 $ \left(\frac{p}{q}\right) $ 的形式。
• 为 $ n \equiv 5,6,7 \pmod{8} $ 引入不变量 $ \rho(n) $，以归一化 $ \mathscr{L}(n) $ 并分析其 2-adic 赋值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于 $ n $ 的素因子的勒让德符号，统一地给出一个同余数的充分条件，推广先前结果？
• RQ2 解析塔特–沙法列维奇数 $ \mathscr{L}(n) $ 如何与椭圆曲线 $ E_n: ny^2 = x^3 - x $ 上的典范周期及典范点相关联？
• RQ3 如何利用 $ n $ 的因子的典范类数来计算 $ \mathscr{L}(n) $ 的奇偶性？
• RQ4 该判别准则是否意味着 $ n \equiv 5,6,7 \pmod{8} $ 的正密度整数为同余数？
• RQ5 该方法能否进一步推广，以证明 $ \mathscr{L}(n) $ 对密度为 1 的 $ n $ 为整数且非零，从而支持 BSD 猜想？

主要发现

• 通过广义格罗斯–察吉尔公式，证明了对所有平方自由 $ n $，解析塔特–沙法列维奇数 $ \mathscr{L}(n) $ 均为整数。
• 对于 $ n \equiv 1,2,3 \pmod{8} $，$ \mathscr{L}(n) $ 的奇偶性由所有满足 $ d_i \equiv 1 \pmod{8} $、$ d_i > 1 $ 的非有序分解 $ n = d_0 d_1 \cdots d_\ell $ 的典范类数 $ g(d_i) $ 乘积之和模 2 决定。
• 对于 $ n \equiv 5,6,7 \pmod{8} $，$ \mathscr{L}(n) $ 为整数，且 $ 2^{-\rho(n)} \mathscr{L}(n) $ 为偶数当且仅当某一特定分解和在模 2 下为零。
• 典范类数 $ g(d) $（即 $ \mathbb{Q}(\sqrt{-d}) $ 的 2-挠元个数）的奇偶性由 $ d $ 的奇素因子 $ p,q $ 的勒让德符号 $ \left(\frac{p}{q}\right) $ 构成的雷代矩阵决定。
• 该判别准则表明，对 $ n \equiv 5,6,7 \pmod{8} $ 的正密度整数，有 $ \mathscr{L}(n) \neq 0 $，从而支持同余数的密度猜想。
• 该方法提供了一种新的、显式的、可计算的同余数判别准则，拓展了希根、伯奇–斯蒂芬斯、蒙斯科及田刚的工作。