[论文解读] Genus, Treewidth, and Local Crossing Number

Vida Dujmović, David Eppstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 4

一句话总结

本文建立了在每条边最多有 $k$ 个交叉的 genus $g$ 曲面上嵌入的图的 treewidth 和 layered treewidth 的紧致界，表明 treewidth 为 $O(\sqrt{gkn})$，layered treewidth 为 $O(gk)$，这些界在常数因子意义下是最优的。作为特例，$n$ 个顶点的 $k$-planar 图的 treewidth 为 $O(\sqrt{kn})$，优于以往的界。

ABSTRACT

We consider relations between the size, treewidth, and local crossing number (maximum crossings per edge) of graphs embedded on topological surfaces. We show that an $n$-vertex graph embedded on a surface of genus $g$ with at most $k$ crossings per edge has treewidth $O(\sqrt{gkn})$ and layered treewidth $O(gk)$, and that these bounds are tight up to a constant factor. As a special case, the $k$-planar graphs with $n$ vertices have treewidth $O(\sqrt{kn})$ and layered treewidth $O(k)$, which are tight bounds that improve a previously known $O(k^{3/4}n^{1/2})$ treewidth bound. Additionally, we show that for $g<m$, every $m$-edge graph can be embedded on a surface of genus $g$ with $O((m/g)\log^2 g)$ crossings per edge, which is tight to within a polylogarithmic factor.

研究动机与目标

• 理解在拓扑图嵌入中图的规模、genus 和局部交叉数之间的结构性权衡。
• 为在具有有界边交叉数的曲面上嵌入的图推导 treewidth 和 layered treewidth 的紧致上界。
• 改进 $k$-planar 图的现有 treewidth 界，后者是有界局部交叉数嵌入的一个特例。
• 确认界在常数因子意义下的紧致性，从而在渐近意义下确认最优性。

提出的方法

• 使用拓扑和组合技术分析在 genus $g$ 的曲面上每条边最多有 $k$ 个交叉的图嵌入。
• 应用图的极小化理论和 treewidth 的已知结果，以 $g$、$k$ 和 $n$ 表示推导渐近上界。
• 通过构造性嵌入论证表明，任意 $m$ 条边的图都可以嵌入到 genus-$g$ 的曲面上，使得每条边的交叉数为 $O((m/g)\log^2 g)$。
• 通过匹配的下界证明界的紧致性，从而在常数因子意义下确认最优性。
• 利用 layered treewidth 的概念，加强对稀疏图族结构性质的理解。
• 将问题约化为已知的极值图论和平面图分解技术，从而推广到更高 genus 的曲面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 genus-$g$ 曲面上嵌入且每条边最多有 $k$ 个交叉的 $n$ 个顶点图，其 treewidth 的最大可能值是多少？
• RQ2 此类图的 layered treewidth 如何随 $g$、$k$ 和 $n$ 变化？
• RQ3 $k$-planar 图的 treewidth 界能否优于先前已知的 $O(k^{3/4}n^{1/2})$？
• RQ4 将任意 $m$ 条边的图嵌入到 genus-$g$ 曲面时，每条边的交叉数为 $O((m/g)\log^2 g)$ 的界是否紧致？
• RQ5 所推导的 treewidth 和 layered treewidth 界在渐近意义下是否为常数因子最优？

主要发现

• 在 genus-$g$ 曲面上嵌入且每条边最多有 $k$ 个交叉的 $n$ 个顶点图的 treewidth 为 $O(\sqrt{gkn})$，且该界在常数因子意义下是紧致的。
• 此类图的 layered treewidth 为 $O(gk)$，且该界在常数因子意义下也是紧致的。
• 对于 $n$ 个顶点的 $k$-planar 图，其 treewidth 为 $O(\sqrt{kn})$，优于先前的 $O(k^{3/4}n^{1/2})$ 界。
• $k$-planar 图的 layered treewidth 为 $O(k)$，且该界是紧致的。
• 任意 $m$ 条边的图都可以嵌入到 genus $g$ 的曲面（当 $g < m$ 时）上，使得每条边的交叉数为 $O((m/g)\log^2 g)$，且该界在多对数因子内是紧致的。
• 所推导的 treewidth 和 layered treewidth 界在渐近意义下是最优的，即对于给定参数无法获得更优的渐近界。