[论文解读] Genus two Veech surfaces arising from general quadratic differentials

Sergey A. Vasilyev|ArXiv.org|Apr 9, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文对源自非平方阿贝尔微分的二次微微分的亏格2维氏曲面进行分类。证明了在(2,2)与(2,1,1)层中所有此类曲面均为算术曲面，而在(1,1,1,1)层中建立了与具有魏尔斯特拉斯点奇点的亏格3双曲维氏曲面之间的对应关系，并通过亏格2维氏曲面的双重覆盖构造出该层中的一个非算术例子。

ABSTRACT

We study Veech surfaces of genus 2 arising from quadratic differentials that are not squares of abelian differentials. We prove that all such surfaces of type (2,2) and (2,1,1) are arithmetic. In (1,1,1,1) case, we reduce the question to abelian differentials of type (2,2) on hyperelliptic genus 3 surfaces with singularities at Weierstrass points, and we give an example of a non-arithmetic Veech surface.

研究动机与目标

• 对源自非平方阿贝尔微分的二次微分的一般亏格2维氏曲面进行分类。
• 确定此类维氏曲面是否为算术曲面，特别关注(2,2)、(2,1,1)和(1,1,1,1)层。
• 在QM₂(1,1,1,1)中的亏格2维氏曲面与ΩM₃(2,2)中具有魏尔斯特拉斯点奇点的双曲亏格3维氏曲面之间建立一一对应关系。
• 通过亏格2维氏曲面的无分支双重覆盖，显式构造(1,1,1,1)层中非算术维氏曲面的例子。

提出的方法

• 使用双重覆盖构造，将亏格2曲面上的二次微分提升为亏格3曲面上的阿贝尔微分，从而可借助阿贝尔微分的已知结果进行分析。
• 应用双曲对合以识别魏尔斯特拉斯点，并分析双重覆盖的结构，特别关注零点与不动点的位置。
• 通过作用于魏尔斯特拉斯点之间路径的双曲对合，对路径进行剪切与重新粘合，构造亏格3曲面。
• 利用QM₂(1,1,1,1)中维氏曲面与ΩM₃(2,2)中具有魏尔斯特拉斯点奇点的双曲维氏曲面之间的对应关系，转移性质。
• 通过剪切与重新粘合等显式几何构造，例如源自L形台球桌的瑞士十字构造，实现表面构造。
• 通过分析由二次微分诱导的平坦结构上的维氏群及其作用，验证算术性或非算术性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当二次微分不是阿贝尔微分的平方时，QM₂(2,2)层中所有亏格2维氏曲面是否均为算术曲面？
• RQ2 当二次微分不是阿贝尔微分的平方时，QM₂(2,1,1)层中所有亏格2维氏曲面是否均为算术曲面？
• RQ3 QM₂(1,1,1,1)中亏格2维氏曲面与ΩM₃(2,2)中具有魏尔斯特拉斯点奇点的双曲亏格3维氏曲面之间是否存在一一对应关系？
• RQ4 能否从非算术亏格2维氏曲面ΩM₂(2)出发，通过显式构造得到QM₂(1,1,1,1)中的非算术维氏曲面？
• RQ5 亏格2维氏曲面的双重覆盖需满足何种条件，才能在QM₂(1,1,1,1)中产生维氏曲面？

主要发现

• 在QM₂(2,2)层中，所有维氏曲面均为算术曲面，即使二次微分不是阿贝尔微分的平方。
• 在QM₂(2,1,1)层中，所有维氏曲面均为算术曲面，条件同上。
• QM₂(1,1,1,1)中的维氏曲面与ΩM₃(2,2)中具有魏尔斯特拉斯点奇点的双曲亏格3维氏曲面之间存在一一对应关系。
• 通过非算术亏格2维氏曲面ΩM₂(2)的无分支双重覆盖，可在QM₂(1,1,1,1)中构造出非算术维氏曲面。
• 对于ΩM₂(2)中的每个亏格2维氏曲面，根据所选两个魏尔斯特拉斯点的不同，最多可构造出十个不同的QM₂(1,1,1,1)中的维氏曲面。
• 所得QM₂(1,1,1,1)中的亏格2曲面在几何上实现为具有扭曲粘合的H形曲面，当基曲面为非算术时，该构造确认了其非算术性质。