[论文解读] Geodesic Centroidal Voronoi Tessellations: Theories, Algorithms and Applications

Zipeng Ye, Ran Yi+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 32被引用 5

一句话总结

该论文提出在三角化流形网格上使用测地线质心Voronoi图（GCVTs）作为内在几何结构，实现均匀重网格化及内容敏感的超像素/超体素生成。提出基于测地线距离与Lloyd迭代的高效算法，实现图像GCVT与RCVT构建的O(nK)时间复杂度，空间复杂度为O(n)，在计算机图形学与视觉领域展现出强大适用性。

ABSTRACT

Nowadays, big data of digital media (including images, videos and 3D graphical models) are frequently modeled as low-dimensional manifold meshes embedded in a high-dimensional feature space. In this paper, we summarized our recent work on geodesic centroidal Voronoi tessellations(GCVTs), which are intrinsic geometric structures on manifold meshes. We show that GCVT can find a widely range of interesting applications in computer vision and graphics, due to the efficiency of search, location and indexing inherent in these intrinsic geometric structures. Then we present the challenging issues of how to build the combinatorial structures of GCVTs and establish their time and space complexities, including both theoretical and algorithmic results.

研究动机与目标

• 开发用于计算机图形学与视觉的三角化流形网格上的内在几何结构——GCVTs。
• 解决在离散、C⁰连续网格上构建具有理论保证均匀性与效率的组合GCVT结构的挑战。
• 建立在流形网格上GCVT构造的时间与空间复杂度的理论与算法基础。
• 通过内在测地线度量实现均匀重网格化与内容敏感的超像素/超体素生成等实际应用。
• 通过RCVT在计算昂贵的测地线方法与更快的近似方法之间建立桥梁，确保精度与效率。

提出的方法

• 提出GCVTs作为流形上的Voronoi图，其中生成点与对应单元的测地线质心重合，确保均匀性。
• 采用Lloyd方法结合测地线距离，迭代更新生成点与Voronoi区域，通过交替进行Voronoi构造与质心计算实现收敛至GCVT。
• 在网格图上使用Dijkstra算法计算精确测地线距离，每次迭代时间复杂度为O(n log n)，通过优化的标签修正变体降低至O(n)。
• 应用地标多维缩放（LMDS）将测地线Voronoi单元展开至R²，以快速近似名义质心。
• 引入受限质心Voronoi图（RCVT）作为快速近似方法，利用嵌入空间中的欧氏距离，避免昂贵的测地线计算。
• 分析时间与空间复杂度，表明在图像上，GCVT（通过IMSLIC）与RCVT（通过MSLIC）的构造时间复杂度均为O(nK)，空间复杂度为O(n)，每次迭代。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将质心Voronoi图推广至以三角化网格表示的内在黎曼流形？
• RQ2 在离散、非光滑流形上构建组合GCVT结构时，其理论与算法挑战是什么？
• RQ3 如何将高效且精确的测地线距离计算集成到大规模数据的迭代GCVT构造中？
• RQ4 RCVT在在多大程度上可作为GCVT的快速且准确的近似，同时保持几何均匀性？
• RQ5 GCVT与RCVT算法在流形网格上的时间与空间复杂度如何？其随输入规模的扩展特性如何？

主要发现

• 证明了GCVTs是流形网格上的均匀镶嵌，为数据划分提供了稳定且内在的几何结构。
• 使用测地线距离可确保Voronoi单元保持连通，而标准欧氏Voronoi图在曲面上可能产生不连通单元。
• IMSLIC算法通过Dijkstra算法与基于LMDS的质心近似，实现每次迭代O(nK)时间复杂度与O(n)空间复杂度，构造近似GCVTs。
• MSLIC算法通过嵌入空间中的欧氏距离，实现每次迭代O(nK)时间复杂度与O(n)空间复杂度，计算RCVT，显著加速收敛。
• RCVT在GCVT与CCVT之间起到有效桥梁作用，结合了GCVT的几何保真度与CCVT的计算效率。
• 实验结果表明，GCVT与RCVT均可在图像与3D模型中实现高质量的均匀重网格化及内容敏感的超像素/超体素生成。