[论文解读] Geodesic connectedness of semi-Riemannian manifolds

Miguel Sánchez|arXiv (Cornell University)|May 4, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 4

一句话总结

该论文利用拓扑与变分方法，建立了多翘曲时空测地连通性的充分条件。证明了若纤维为凸集且翘曲函数满足积分发散条件（5.1），则任意两个因果相关点之间均可由因果测地线连接，且时空是测地连通的；非可缩纤维会产生无穷多条测地线，包括在端点附近的类时测地线。

ABSTRACT

The question whether a Riemannian manifold is geodesically connected can be studied from geometrical as well as variational methods, and accurate results can be obtained by using the associated distance and related properties of the positive-definiteness. It is natural to state this problem in manifolds with (possibly non-smooth) boundary, and some conditions on this boundary has been studied. For Lorentzian manifolds, the results cannot be so general, and very different techniques has been introduced which are satisfactory for some classes of Lorentzian manifolds: spaceforms, disprisoning and pseudoconvex manifolds, stationary, globally hyperbolic or multiwarped spacetimes... Some of them are appliable to semi-Riemannian manifolds with higher index or even to manifolds with just an affine connection. Our purpose is to review these semi-Riemannian techniques, discussing the results and possible extensions.

研究动机与目标

• 建立半黎曼流形（特别是多翘曲时空）测地连通性的充分条件。
• 将变分与拓扑技术从平稳和分裂时空推广至更一般的洛伦兹几何。
• 刻画因果相关点之间测地线的存在性与重数特性，针对具有凸纤维的时空。
• 解决物理上重要的时空（如Reissner-Nordström中间时空与Schwarzschild内部时空）的测地连通性问题。
• 分析纤维拓扑（如非可缩纤维）在生成无穷多条测地线中的作用。

提出的方法

• 采用基于Brower度理论的拓扑方法，证明表示连接测地线初始条件的连续映射 μ̄(c,K) 的零点存在性。
• μ̄ 的构造涉及固定纤维分量中的测地线，并定义从参数空间 [0,1]^{m-1} × [K⁻,K⁺] 到 R^{m-1} 的映射，其零点对应于解。
• 通过先验的Avez-Seifert型结果，确保在边界值 K⁻ 和 K⁺ 处存在零点，从而保证从任一点到未来与过去方向直线之间存在因果测地线。
• 利用解关于参数的连续性及 μ̄ 的边界行为，构造出连续的零点集，从而推出连接测地线的存在性。
• 积分条件（5.1）确保每个点均可连接至未来与过去方向的因果直线，从而实现全局测地线的构造。
• 对于非可缩纤维，该方法被应用于纤维中每条同伦类的测地线，从而得到解的无限重数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在翘曲函数与纤维几何满足何种条件时，多翘曲时空是测地连通的？
• RQ2 纤维的拓扑结构（如可缩性）如何影响连接两点的测地线数量？
• RQ3 拓扑度理论能否有效应用于证明在变分方法失效的时空中测地线的存在性？
• RQ4 因果结构在确保连接因果测地线存在性方面起何种作用？
• RQ5 当边界保持多翘曲结构时，结果如何推广至具有边界的时空？

主要发现

• 若所有纤维均为凸集且翘曲函数满足积分发散条件（5.1），则多翘曲时空中任意两个因果相关点之间均可由因果测地线连接。
• 当积分条件（5.1）对所有纤维及某个 c ∈ (a,b) 成立时，时空是测地连通的，确保可连接至未来与过去方向的直线。
• 当某一纤维 F_j 不可缩时，任意两点之间存在无穷多条测地线，且固定点到直线 L[x] 上点之间类时测地线的数量在 t 趋近区间 I 的端点时趋于无穷。
• 该方法成功证明了Reissner-Nordström中间时空与Schwarzschild内部时空的测地连通性，尽管翘曲函数行为非理想，但得益于纤维的球面对称拓扑。
• 该技术可推广至具有边界的时空，前提是边界保持多翘曲结构且纤维仍为凸集。
• 通过Brower拓扑度理论，建立了映射 μ̄(c,K) 的连续零点集，从而在给定条件下确保连接测地线的存在性。