[论文解读] Geodesic Obstacle Representation of Graphs

Prosenjit Bose, Paz Carmi+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 1

一句话总结

本文引入了图的测地障碍表示，通过允许使用任意多面体或图度量下的最短路径（而非仅直线段）来表示边，从而推广了传统的障碍表示。主要贡献是一个统一框架，涵盖了障碍、平面障碍和网格障碍表示，并证明在某些度量空间（如超立方体度量）中，每个图均可通过常数个障碍实现非交叉的测地障碍表示。

ABSTRACT

An obstacle representation of a graph is a mapping of the vertices onto points in the plane and a set of connected regions of the plane (called obstacles) such that the straight-line segment connecting the points corresponding to two vertices does not intersect any obstacles if and only if the vertices are adjacent in the graph. The obstacle representation and its plane variant (in which the resulting representation is a plane straight-line embedding of the graph) have been extensively studied with the main objective of minimizing the number of obstacles. Recently, Biedl and Mehrabi [Therese C. Biedl and Saeed Mehrabi, 2017] studied non-blocking grid obstacle representations of graphs in which the vertices of the graph are mapped onto points in the plane while the straight-line segments representing the adjacency between the vertices is replaced by the L_1 (Manhattan) shortest paths in the plane that avoid obstacles. In this paper, we introduce the notion of geodesic obstacle representations of graphs with the main goal of providing a generalized model, which comes naturally when viewing line segments as shortest paths in the Euclidean plane. To this end, we extend the definition of obstacle representation by allowing some obstacles-avoiding shortest path between the corresponding points in the underlying metric space whenever the vertices are adjacent in the graph. We consider both general and plane variants of geodesic obstacle representations (in a similar sense to obstacle representations) under any polyhedral distance function in R^d as well as shortest path distances in graphs. Our results generalize and unify the notions of obstacle representations, plane obstacle representations and grid obstacle representations, leading to a number of questions on such representations.

研究动机与目标

• 将现有的障碍表示模型——障碍、平面障碍和网格障碍表示——统一并推广为一个更广泛的框架。
• 通过用给定度量空间中的最短路径替代直线段，扩展障碍表示的概念，从而实现更灵活和通用的图嵌入。
• 研究在不同距离度量下，各类图类（特别是平面图）是否存在非交叉的测地障碍表示。
• 确定在特定度量空间（如超立方体度量）中，是否存在常数个障碍足以实现非交叉表示。
• 探讨判断一个图是否基于另一图的度量结构具有障碍表示的计算复杂性。

提出的方法

• 将测地障碍表示定义为一对 (ϕ, S)，其中顶点映射到 R² 中的点，障碍 S 为连通区域，当且仅当其像之间存在某条避开所有障碍的最短路径（在给定度量下）时，两个顶点相邻。
• 将模型推广至 Rd 中的任意多面体距离函数及图中的最短路径距离，从而在底层度量空间中实现灵活性。
• 在超立方体 QD 中使用概率嵌入技术，其中顶点被映射为长度 D = ⌈log₂n⌉ 的二进制字符串，并通过词典序和按位比较定义路径。
• 应用集中不等式和概率分析，证明以高概率满足四个关键几何性质：(1) 距离中心的对称性，(2) 非相邻边之间的分离性，(3) 非端点顶点的距离，(4) 共同顶点出发的路径快速发散。
• 将障碍集 S 构造为 QD 中未被任何嵌入边路径使用的顶点，确保非相邻顶点对在移除障碍后的空间中路径更长。
• 证明主要不等式 δQD\S(u,w) ≥ δG(u,w)(1−ϵ)D/2 − (δG(u,w)−1)2αlogn，该不等式确保在障碍移除空间中非边不会被连接，从而验证表示的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个平面图是否在合适的度量下，对某个常数 k 均存在非交叉的 δk-障碍表示？
• RQ2 是否可以在特定度量空间（如超立方体）中，对所有图构造出使用常数个障碍的非交叉测地障碍表示？
• RQ3 判断图 G 是否具有基于图 H 的障碍表示（在测地模型下）是否为 NP-难问题？
• RQ4 不同度量（如 L1、多面体、图度量）中测地线的性质如何影响所需最少障碍数？
• RQ5 在何种结构和概率条件下，测地障碍表示可避免交叉并保持邻接关系？

主要发现

• 本文证明，在超立方体度量 QD 中，当 D = ⌈log₂n⌉ 时，每个图均可实现非交叉的测地障碍表示，且在 n 增长的极限下，障碍数量为常数。
• 以高概率，QD 中的随机嵌入满足四个关键几何性质：距中心对称、边间分离、顶点避开和路径发散。
• 主要不等式 δQD\S(u,w) ≥ δG(u,w)(1−ϵ)D/2 − (δG(u,w)−1)2αlogn 确保在障碍移除空间中非相邻顶点保持不连通，从而验证表示的正确性。
• 该构造保证，对于任意非边 uw，QD\S 中的最短路径长度超过 (1+ϵ)D/2，与 uw 会被连接的假设矛盾，从而证明了正确性。
• 该方法统一并推广了障碍表示、平面障碍表示和网格障碍表示，为基于度量空间中最短路径的单一框架。
• 该结果意味着平面图可能具有非交叉的 δk-障碍表示（k 为常数），但此问题仍为未来研究的开放问题。