[论文解读] Geodesic orbit Finsler metrics on Euclidean spaces

Ming Xu, Shaoqiang Deng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2018

Advanced Differential Geometry Research参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文研究欧氏空间上的测地线轨道Finsler度量，证明此类空间纤维化为非紧致型对称Finsler空间，其全纯测地线纤维的步长至多为2。关键贡献在于通过Finsler子mersions和Levi分解，对欧氏空间上的测地线轨道Finsler度量进行结构分解，其应用包括曲率刚性结果以及对Berwaldian度量和单秩定理的全新证明。

ABSTRACT

A Finsler space $(M,F)$ is called a geodesic orbit space if any geodesic of constant speed is the orbit of a one-parameter subgroup of isometries of $(M, F)$. In this paper, we study Finsler metrics on Euclidean spaces which are geodesic orbit metrics. We will show that, in this case $(M, F)$ is a fiber bundle over a symmetric Finsler space $M_1$ of non-compact type such that each fiber $M_2$ is a totally geodesic nilmanifold with a step-size at most 2, and the projection $π:M ightarrow M_1$ is a Finslerian submersion. Furthermore, when $M_1$ has no Hermitian symmetric factors, the fiber bundle description for $M$ can be strengthened to $M=M_1 imes M_2$ as coset spaces, such that each product factor is totally geodesic in $(M,F)$ and is a geodesic orbit Finsler space itself. Finally, we use the techniques in this paper to discuss the interaction between the geodesic orbit spaces and the negative (non-positive) curved conditions, and provide new proofs for some of our previous results.

研究动机与目标

• 对微分同胚于欧氏空间的流形上的测地线轨道Finsler度量进行分类。
• 通过纤维丛分解与Finsler子mersions理解此类度量的几何结构。
• 研究测地线轨道条件与曲率约束（特别是负曲率或非正旗曲率）之间的相互作用。
• 为负曲率测地线轨道Finsler空间及Berwaldian度量的刚性定理提供全新证明。
• 修正并强化先前关于测地线轨道Finsler幂零流形中幂零根的步长界限的研究结果。

提出的方法

• 利用等距代数的Levi分解，分析测地线轨道条件与幂零根结构之间的相互作用。
• 应用Finsler子mersion技术，将全空间分解为非紧致型对称Finsler空间上的纤维丛。
• 利用喷射向量场与可约分解，验证纤维与乘积因子的全测地性。
• 使用$B_{\frak{g}}$-正交补定义切空间，并分析各稳定子群的作用。
• 应用齐性Finsler几何中的曲率刚性定理，特别是涉及常长度的Killing向量场的定理。
• 重新审视并基于新结构框架重新证明定理6.2与6.3关于负曲率与非正旗曲率的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 欧氏空间上测地线轨道Finsler度量的全局几何结构是什么？
• RQ2 等距代数的Levi分解在Finsler几何中如何与测地线轨道条件相互作用？
• RQ3 在何种条件下，欧氏空间上的测地线轨道Finsler空间可分解为全测地线对称与幂零因子的乘积？
• RQ4 测地线轨道Finsler幂零流形中幂零根的步长是否可能超过2？
• RQ5 当测地线轨道条件与负曲率或非正旗曲率结合时，会涌现出何种刚性结果？

主要发现

• 任何欧氏空间上的测地线轨道Finsler度量均可表示为非紧致型对称Finsler空间上的Finsler子mersion。
• 该子mersion的每个纤维均为步长至多为2的全测地线幂零流形。
• 当对称基空间不包含复结构对称因子时，全空间等距同构于全测地线测地线轨道Finsler空间的乘积$M_1 \times M_2$。
• 等距群的幂零根的步长至多为2，纠正了先前研究中的一个漏洞。
• 负曲率的测地线轨道Finsler空间必为非紧致型的单秩Riemann对称空间。
• 具有非正旗曲率且负Ricci标量的测地线轨道Finsler空间必为对称且Berwaldian。